KPSS A İstatistik Korelasyon Analizi konu anlatımı

Korelasyon analizi, iki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü tek bir sayıyla özetler. En çok kullanılan ölçü Pearson (çarpım-moment) korelasyon katsayısı r'dir. r, kovaryansın iki standart sapmanın çarpımına bölünmesiyle elde edilen birimsiz bir ölçüdür ve −1 ile +1 arasında değer alır. Korelasyon, değişkenleri "bağımlı–bağımsız" diye ayırmaz; iki değişkene simetrik davranır. Regresyon analizinden farkı budur: regresyon bir değişkeni diğerinden tahmin etmeye, korelasyon ise yalnızca birlikte değişimin derecesini ölçmeye yöneliktir. KPSS A Grubu İstatistik'te bu konuda; r'nin veriden ya da hazır kareler toplamlarından hesaplanması, doğrusal dönüşümler altındaki davranışı, belirlilik katsayısı r², anlamlılık testi (t testi), Spearman sıra korelasyonu ve kısmi korelasyon sık sorulur.

Kovaryans

• Örneklem kovaryansı: s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / (n − 1)
• Kovaryansın işareti ilişkinin yönünü verir; ancak büyüklüğü ölçü birimine bağlıdır, bu yüzden ilişkinin gücünü tek başına göstermez.
• Doğrusal dönüşüm: U = a + bX, V = c + dY ise Cov(U, V) = b·d·Cov(X, Y). Sabitler (a, c) kovaryansı etkilemez.

Pearson korelasyon katsayısı

Kısaltmalar: Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ).

• Tanım: r = Sxy / √(Sxx · Syy) = s_xy / (s_x · s_y)
• Hesap formülü (ham toplamlarla):
  • Sxy = Σxy − (Σx)(Σy)/n
  • Sxx = Σx² − (Σx)²/n
  • Syy = Σy² − (Σy)²/n
  • Eşdeğer biçim: r = [nΣxy − ΣxΣy] / √{[nΣx² − (Σx)²] · [nΣy² − (Σy)²]}
• Özellikler:
  • −1 ≤ r ≤ +1 (Cauchy–Schwarz eşitsizliğinin sonucu). r = ±1 ise tüm noktalar tek bir doğru üzerindedir.
  • r birimsizdir; ölçü birimi değişikliği (ör. cm → m, °C → °F) r'yi değiştirmez.
  • U = a + bX, V = c + dY dönüşümünde r(U, V) = r(X, Y) · işaret(b·d). Yani b ve d aynı işaretliyse r aynı kalır, zıt işaretliyse yalnızca işareti değişir.
  • r = 0, doğrusal ilişkinin olmadığını gösterir; bağımsızlık anlamına gelmez (ör. simetrik x değerleri için y = x² ilişkisinde r = 0'dır). Yalnızca iki değişkenli normal dağılımda r = 0 ⇔ bağımsızlık geçerlidir.
  • Korelasyon nedensellik göstermez; üçüncü bir değişken (karıştırıcı) her ikisini de etkiliyor olabilir.
  • Aykırı değerlere duyarlıdır.
• Yorum için kaba ölçüt: |r| < 0,30 zayıf; 0,30–0,70 orta; |r| > 0,70 güçlü ilişki.

Belirlilik katsayısı ve regresyonla bağlantı

• r², y'deki toplam değişkenliğin x ile doğrusal olarak açıklanan oranıdır (basit regresyonda R² = r²).
• Regresyon eğimi ile ilişki: b_yx = r · s_y / s_x ve b_xy = r · s_x / s_y ⇒ b_yx · b_xy = r². r'nin işareti eğimlerin (ortak) işaretidir.

Anlamlılık testi (H0: ρ = 0)

• Test istatistiği: t = r · √(n − 2) / √(1 − r²), serbestlik derecesi n − 2.
• |t| > t(α/2; n − 2) ise H0 reddedilir. Bu test, basit regresyonda eğim için yapılan t testiyle aynı sonucu verir.
• ρ ≠ 0 olan hipotezler ve güven aralığı için Fisher z dönüşümü kullanılır: z = 0,5 · ln[(1 + r)/(1 − r)], standart hatası 1/√(n − 3).

Spearman sıra korelasyonu

• Veriler sıralara dönüştürülür; d, her gözlemin iki sırası arasındaki farktır.
• r_s = 1 − 6Σd² / [n(n² − 1)]: (bağ yoksa). Sıralı (ordinal) veriler ya da doğrusal olmayan ama tekdüze (monoton) ilişkiler için uygundur; aykırı değerlere daha az duyarlıdır.
• Kendall tau (τ) da uyumlu–uyumsuz çift sayısına dayanan bir sıra korelasyonudur.

Kısmi korelasyon

• Üçüncü değişken (3) sabit tutulduğunda 1 ile 2 arasındaki korelasyon:
• r12.3 = (r12 − r13 · r23) / √[(1 − r13²)(1 − r23²)]

Toplam ve farkın varyansı

• Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 · r · s_x · s_y

Örnek 1 – Veriden r hesabı: x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5. Çözüm: x̄ = 3, ȳ = 20/5 = 4. Sapmalar: x − x̄ = −2, −1, 0, 1, 2; y − ȳ = −2, 0, 1, 0, 1. Sxy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6; Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10; Syy = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6. r = 6 / √(10 · 6) = 6 / √60 = 6 / 7,746 ≈ 0,77. Belirlilik katsayısı r² = 36/60 = 0,60; y'deki değişkenliğin %60'ı x ile doğrusal olarak açıklanır.

Örnek 2 – Ham toplamlardan r: n = 6, Σx = 24, Σy = 36, Σxy = 160, Σx² = 112, Σy² = 241. Çözüm: Sxy = 160 − (24 · 36)/6 = 160 − 144 = 16; Sxx = 112 − 24²/6 = 112 − 96 = 16; Syy = 241 − 36²/6 = 241 − 216 = 25. r = 16 / √(16 · 25) = 16 / 20 = 0,80.

Örnek 3 – Anlamlılık testi: n = 18 gözlemden r = 0,60 bulunmuştur. α = 0,05 düzeyinde (iki yönlü) H0: ρ = 0 sınanacaktır; t(0,025; 16) = 2,120. Çözüm: t = 0,60 · √16 / √(1 − 0,36) = 0,60 · 4 / 0,80 = 3,0. 3,0 > 2,120 olduğundan H0 reddedilir; anakütlede doğrusal ilişki vardır.

Örnek 4 – Spearman sıra korelasyonu: İki jüri beş yarışmacıyı şöyle sıralamıştır: 1. jüri: 1, 2, 3, 4, 5; 2. jüri: 2, 1, 4, 3, 5. Çözüm: d = −1, 1, −1, 1, 0 ⇒ Σd² = 4. r_s = 1 − 6 · 4 / [5 · (25 − 1)] = 1 − 24/120 = 0,80.