KPSS A İstatistik Güven Aralıkları konu anlatımı

Nokta tahmini bilinmeyen parametre için tek bir sayı verir, ancak bu sayının ne kadar güvenilir olduğunu göstermez. Aralık tahmini ise parametreyi belirli bir güven düzeyiyle (1 − α) kapsayan bir aralık verir. Genel yapı:

Nokta tahmini ± (kritik değer) × (standart hata)

Kritik değer ile standart hatanın çarpımına hata payı (E) denir; aralığın uzunluğu 2E'dir. KPSS A İstatistik'te en çok anakütle ortalaması (σ bilinen/bilinmeyen) ve anakütle oranı için güven aralıkları sorulur; iki ortalama/oran farkı ve varyans için aralıklar da bu konunun devamıdır.

Kritik değerler

• Standart normal için sık kullanılanlar: %90 → z₀,₀₅ = 1,645; %95 → z₀,₀₂₅ = 1,96; %99 → z₀,₀₀₅ = 2,576.
• Güven düzeyi arttıkça kritik değer ve dolayısıyla aralık genişler.

Tek anakütle ortalaması

Tek anakütle oranı (büyük örneklem)

• p̂ ± z_(α/2) · √(p̂(1 − p̂)/n); np̂ ve n(1 − p̂) en az 5 olmalıdır.

İki bağımsız anakütle

• Ortalama farkı, σ'lar biliniyor: (x̄₁ − x̄₂) ± z_(α/2) · √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂).
• Ortalama farkı, σ'lar bilinmiyor ama eşit (havuzlanmış t): s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2); (x̄₁ − x̄₂) ± t_(α/2; n₁+n₂−2) · s_p · √(1/n₁ + 1/n₂).
• Oran farkı: (p̂₁ − p̂₂) ± z_(α/2) · √(p̂₁q̂₁/n₁ + p̂₂q̂₂/n₂).
• Fark için kurulan aralık 0'ı içeriyorsa, iki parametre arasında (aynı α düzeyinde) anlamlı fark yoktur.

Varyans (normal anakütle)

• [(n − 1)s²/χ²_(α/2; n−1) ; (n − 1)s²/χ²_(1−α/2; n−1)]. Büyük χ² değeri alt sınırı verir; aralık x̄ etrafında simetrik değildir. σ için aralık, sınırların karekökü alınarak bulunur.

Aralık uzunluğunu etkileyen etkenler (σ bilinen ortalama için L = 2z·σ/√n)

• Güven düzeyi ↑ → L ↑; σ ↑ → L ↑; n ↑ → L ↓.
• n'yi 4 katına çıkarmak uzunluğu yarıya indirir (L, √n ile ters orantılıdır).

Doğru yorum

• %95 güven aralığı, "aynı yöntemle çok sayıda örneklem alınıp aralık kurulsaydı, bu aralıkların yaklaşık %95'i gerçek parametreyi kapsardı" anlamına gelir. Parametre sabittir; rastgele olan aralıktır. Hesaplanmış tek bir aralık parametreyi ya içerir ya içermez.
• Test ile ilişki: μ₀ değeri (1 − α) güven aralığının içindeyse çift yönlü H₀: μ = μ₀ hipotezi α düzeyinde reddedilmez; dışındaysa reddedilir.

Örnek 1 – σ bilinen ortalama

n = 36, x̄ = 50, σ = 12; %95 güven aralığı:

• Standart hata = 12/√36 = 2; hata payı E = 1,96 · 2 = 3,92.
• Aralık: 50 ± 3,92 → (46,08; 53,92).

Örnek 2 – σ bilinmeyen, küçük örneklem (t)

Normal anakütleden n = 16, x̄ = 80, s = 8; t₀,₀₂₅;₁₅ = 2,131.

• Standart hata = 8/4 = 2; E = 2,131 · 2 = 4,262.
• Aralık: (75,738; 84,262).

Örnek 3 – Oran

400 kişilik örneklemde 240 kişi bir öneriyi desteklemektedir; %95 güven aralığı:

• p̂ = 240/400 = 0,6; standart hata = √(0,6 · 0,4/400) = √0,0006 ≈ 0,0245.
• E = 1,96 · 0,0245 ≈ 0,048 → (0,552; 0,648).

Örnek 4 – İki ortalama farkı

n₁ = 50, x̄₁ = 72, σ₁ = 10; n₂ = 40, x̄₂ = 68, σ₂ = 8; %95 güven aralığı:

• Standart hata = √(100/50 + 64/40) = √(2 + 1,6) = √3,6 ≈ 1,897.
• E = 1,96 · 1,897 ≈ 3,72 → 4 ± 3,72 → (0,28; 7,72). Aralık 0'ı içermediğinden ortalamalar arasında anlamlı fark vardır.

Örnek 5 – Varyans

Normal anakütleden n = 10, s² = 20; χ²₀,₀₂₅;₉ = 19,023 ve χ²₀,₉₇₅;₉ = 2,700.

• (n − 1)s² = 180.
• Aralık: (180/19,023; 180/2,700) = (9,462; 66,667). σ için: (3,076; 8,165).