KPSS A İstatistik Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi konu anlatımı

Bir araştırmada kaç birimlik örneklem alınacağı; istenen kesinlik (hata payı, E), güven düzeyi (1 − α) ve anakütledeki değişkenlik (σ ya da p) bilgilerine göre belirlenir. Örneklem gereğinden küçük olursa tahminler istenen kesinliğe ulaşmaz; gereğinden büyük olursa zaman ve maliyet boşa harcanır.

Formüllerin hepsi güven aralığındaki hata payı eşitliğinden, yani E = z · (standart hata) ifadesinin n için çözülmesinden elde edilir. KPSS A İstatistik'te bu konu genellikle ortalama ve oran için n hesabı, sonlu anakütle düzeltmesi, hata payı veya güven düzeyindeki değişimin n'ye etkisi ve ön bilgi yoksa p = 0,5 kullanılması üzerinden sorulur.

Ortalama tahmini için

• E = z_(α/2) · σ/√n eşitliğinden: n = (z_(α/2) · σ / E)².
• σ bilinmiyorsa pilot (ön) çalışmadaki s ya da geçmiş araştırmalar kullanılır. Yaklaşık kural: σ ≈ açıklık/4 (daha temkinli seçim için açıklık/6 yerine açıklık/4 alınır; küçük tahmin edilen σ, n'yi küçültür).
• Göreli kesinlik: Hata payı ortalamanın belirli bir yüzdesi olarak verilirse önce E = (yüzde) × x̄ hesaplanır.
• Güven aralığının toplam uzunluğu W verilirse E = W/2 alınır.

Oran tahmini için

• E = z_(α/2) · √(p(1 − p)/n) eşitliğinden: n = z²_(α/2) · p(1 − p) / E².
• p hakkında ön bilgi yoksa p(1 − p)'yi en büyük yapan p = 0,5 kullanılır (p(1 − p) ≤ 0,25). Bu, en "temkinli" yani en büyük n'yi verir.
• Sık kullanılan sonuç: %95 güven, E = 0,05, p = 0,5 → n = 1,96² · 0,25/0,0025 = 384,16 → 385.

Yuvarlama kuralı

• Hesaplanan n her zaman yukarı yuvarlanır (96,04 → 97); aşağı yuvarlamak istenen kesinliğin sağlanamaması demektir.

Sonlu anakütle düzeltmesi

• Anakütle büyüklüğü N biliniyorsa ve n₀/N oranı küçük değilse (genellikle > %5): n = n₀ / [1 + (n₀ − 1)/N] (yaklaşık biçimi n₀ / (1 + n₀/N)).
• Eşdeğer yazım (oran için): n = N·z²·p·q / [(N − 1)·E² + z²·p·q].
• Düzeltilmiş n her zaman n₀'dan küçüktür; N büyüdükçe n, n₀'a yaklaşır.

Etkenlerin n üzerindeki etkisi

• n, (z/E)² ile orantılıdır: E yarıya inerse n 4 katına çıkar; E iki katına çıkarsa n dörtte birine iner.
• Güven düzeyi ↑ (z ↑) → n ↑; σ (ya da p(1 − p)) ↑ → n ↑; kabul edilen hata payı ↑ → n ↓.
• Anakütle çok büyükse n, N'den neredeyse bağımsızdır.

Diğer durumlar

Örnek 1 – Ortalama için

σ = 15, istenen hata payı E = 3, güven düzeyi %95.

• n = (1,96 · 15/3)² = (9,8)² = 96,04 → 97.

Örnek 2 – Oran için (ön bilgi yok)

E = 0,03, %95 güven, p bilinmiyor.

• p = 0,5 → n = 3,8416 · 0,25 / 0,0009 = 0,9604/0,0009 ≈ 1067,1 → 1068.

Örnek 3 – Oran için (pilot bilgi var)

Pilot çalışmada p̂ ≈ 0,2; E = 0,04; %95 güven.

• n = 3,8416 · 0,2 · 0,8 / 0,0016 = 0,614656/0,0016 = 384,16 → 385.
• p = 0,5 kullanılsaydı n = 0,9604/0,0016 = 600,25 → 601 olurdu; ön bilgi örneklemi küçültür.

Örnek 4 – Sonlu anakütle düzeltmesi

N = 2000 kişilik bir kurumda %95 güven, E = 0,05, p = 0,5.

• n₀ = 384,16.
• n = 384,16 / [1 + 383,16/2000] = 384,16/1,19158 ≈ 322,4 → 323.

Örnek 5 – Test gücüne göre

σ = 8; μ'deki 4 birimlik farkın α = 0,05 (çift yönlü) düzeyinde %90 güçle saptanması isteniyor (z₀,₀₂₅ = 1,96; z₀,₁₀ = 1,28).

• n = [(1,96 + 1,28) · 8/4]² = (3,24 · 2)² = 6,48² ≈ 41,99 → 42.