KPSS A İstatistik Örnekleme Yöntemleri konu anlatımı

İstatistiksel çıkarsamanın amacı, tamamını incelemenin pahalı, zaman alıcı ya da imkânsız olduğu bir anakütle (evren, popülasyon) hakkında, ondan seçilen bir örneklem yardımıyla bilgi edinmektir. Örneklemden elde edilen sonuçların anakütleye genellenebilmesi için örneklemin anakütleyi temsil etmesi ve seçimin bilinen bir olasılık mekanizmasıyla yapılması gerekir. Bu nedenle örnekleme yöntemleri iki ana gruba ayrılır:

• Olasılıklı (rastgele) örnekleme: Anakütledeki her birimin örnekleme girme olasılığı bilinir ve sıfırdan büyüktür. Örnekleme hatası hesaplanabilir, güven aralığı ve hipotez testi kurulabilir. Başlıcaları basit rastgele, sistematik, tabakalı ve küme örneklemesidir.
• Olasılıksız (rastgele olmayan) örnekleme: Seçilme olasılıkları bilinmez; bu nedenle örnekleme hatası objektif olarak ölçülemez. Kolayda (tesadüfi/uygun), kota, yargısal (amaçlı) ve kartopu örneklemesi bu gruptadır.

KPSS A Grubu İstatistik'te bu konuda hem kavramsal (yöntemin tanınması, hangi koşulda hangi yöntemin etkin olduğu) hem de sayısal (örnekleme aralığı, tabakalara dağıtım, seçilme olasılığı, sonlu anakütle düzeltmesi) sorular gelir.

Temel terimler

Basit rastgele örnekleme (BRÖ)

• Aynı büyüklükteki her olası örneklemin seçilme olasılığı eşittir.
• İadesiz: BRÖ'de farklı (sırasız) örneklem sayısı: C(N, n) = N! / [n!(N − n)!]. İadeli ve sıranın önemli olduğu durumda: Nⁿ.
• İadesiz BRÖ'de her birimin örnekleme girme olasılığı: n/N.
• Örneklem ortalamasının varyansı:
  • İadeli (veya sonsuz anakütle): Var(x̄) = σ²/n
  • İadesiz (sonlu anakütle): Var(x̄) = (σ²/n) · (N − n)/(N − 1)
• (N − n)/(N − 1): çarpanına sonlu anakütle düzeltme faktörü denir; standart hataya karekökü girer. Uygulamada n/N < 0,05 ise bu düzeltme ihmal edilir.

Sistematik örnekleme

• Anakütle birimleri 1'den N'ye sıralanır. Örnekleme aralığı k = N/n bulunur.
• 1 ile k arasından rastgele bir başlangıç r seçilir; seçilen birimler r, r + k, r + 2k, … olur. i. birimin sıra numarası: r + (i − 1)k.
• Uygulaması kolaydır; liste rastgele sıralanmışsa BRÖ'ye yakın sonuç verir. Liste, k ile çakışan periyodik (dönemsel) bir düzen içeriyorsa ciddi yanlılık oluşabilir.

Tabakalı örnekleme

• Anakütle, kendi içinde homojen, birbirinden heterojen H tabakaya ayrılır (N₁ + … + N_H = N) ve her tabakadan ayrı ayrı rastgele örneklem seçilir.
• Tabaka ağırlığı: W_h = N_h / N.
• Tabakalı ortalama: x̄_st = Σ W_h · x̄_h
• Anakütle toplamı tahmini: T̂ = Σ N_h · x̄_h = N · x̄_st
• Tabakalı ortalamanın varyansı (düzeltme ihmal): Var(x̄_st) = Σ W_h² · S_h² / n_h
• Orantılı dağıtım: n_h = n · N_h / N
• Neyman (optimum) dağıtımı: n_h = n · N_h S_h / Σ(N_j S_j) — büyük ve değişkenliği yüksek tabakalara daha çok birim ayrılır. Maliyetler farklıysa n_h, N_h S_h / √c_h ile orantılı alınır.
• Tabakalar arası fark büyüdükçe tabakalı örnekleme BRÖ'ye göre daha etkin (küçük varyanslı) olur.

Küme örneklemesi

• Anakütle, kendi içinde heterojen, birbirine benzeyen kümelere (okul, mahalle, köy) ayrılır; kümelerin bir kısmı rastgele seçilir.
• Tek aşamalı: Seçilen kümelerin tüm birimleri incelenir.
• İki (çok) aşamalı: Seçilen kümelerin içinden de rastgele alt örneklem çekilir. Bir birimin seçilme olasılığı, aşama olasılıklarının çarpımıdır: (m/M) · (n_i/N_i).
• Çerçeve yalnızca küme düzeyinde gerekir, saha maliyeti düşüktür; ancak aynı n için genellikle BRÖ'den daha az etkindir (küme içi benzerlik arttıkça etkinlik düşer).

Olasılıksız yöntemler

Örnek 1 (Sistematik örnekleme): 1'den 5000'e kadar numaralı faturalardan 250'si sistematik örneklemeyle seçilecektir. Rastgele başlangıç 7 ise seçilen 10. faturanın numarası kaçtır?

Çözüm: k = 5000/250 = 20. Seçilenler 7, 27, 47, … biçiminde ilerler. 10. fatura: 7 + (10 − 1) · 20 = 7 + 180 = 187.

Örnek 2 (Orantılı ve Neyman dağıtımı): İki tabakalı bir anakütlede N₁ = 1000, S₁ = 10; N₂ = 3000, S₂ = 4 ve toplam örneklem n = 220'dir.

• Orantılı dağıtım: n₁ = 220 · 1000/4000 = 55, n₂ = 220 · 3000/4000 = 165.
• Neyman dağıtımı: N₁S₁ = 10 000, N₂S₂ = 12 000, toplam 22 000. n₁ = 220 · 10 000/22 000 = 100, n₂ = 220 · 12 000/22 000 = 120.

Birinci tabaka küçük olmasına rağmen değişkenliği yüksek olduğu için Neyman dağıtımında daha çok birim almıştır.

Örnek 3 (Tabakalı ortalama): Üç tabakanın ağırlıkları 0,2; 0,5; 0,3 ve tabaka örneklem ortalamaları 50, 40, 30'dur.

x̄_st = 0,2 · 50 + 0,5 · 40 + 0,3 · 30 = 10 + 20 + 9 = 39. Tabaka ortalamalarının basit ortalaması olan 40, ağırlıkları dikkate almadığı için yanlıştır.

Örnek 4 (Sonlu anakütle düzeltmesi): N = 1000 birimlik anakütleden iadesiz BRÖ ile n = 100 birim seçiliyor, σ = 20.

Düzeltmesiz standart hata: σ/√n = 20/10 = 2. Düzeltme faktörü: (N − n)/(N − 1) = 900/999 ≈ 0,9009; karekökü ≈ 0,9492. Düzeltilmiş standart hata: 2 · 0,9492 ≈ 1,90. Burada n/N = 0,10 > 0,05 olduğundan düzeltme ihmal edilmemelidir.