KPSS A İstatistik Kesikli Dağılımlar (Binom, Poisson, Hipergeometrik) konu anlatımı

Kesikli (süreksiz) dağılımlar, sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda değer alan rastlantı değişkenlerini modeller. KPSS A Grubu İstatistik'te bu başlıkta en çok binom, Poisson ve hipergeometrik dağılımlar sorulur; bunları tamamlayan Bernoulli, geometrik ve negatif binom dağılımları da sık karşımıza çıkar. Her dağılım için bilinmesi gerekenler aynıdır: olasılık fonksiyonu (OF), beklenen değer, varyans, gerekirse moment çıkaran fonksiyon (MÇF) ve dağılımın hangi deney düzeninden doğduğu.

Kısaca:

• Binom: Sabit sayıda (n), bağımsız ve özdeş Bernoulli denemesinde başarı sayısı (iadeli seçim).
• Hipergeometrik: Sonlu bir anakütleden iadesiz seçimde "başarı" sayısı.
• Poisson: Belirli bir zaman/alan aralığında, birbirinden bağımsız ve seyrek oluşan olayların sayısı.
• Geometrik / negatif binom: İlk (ya da r'inci) başarıya kadar yapılan deneme sayısı.

Bernoulli dağılımı

• Tek deneme; X = 1 (başarı) olasılığı p, X = 0 olasılığı q = 1 − p.
• E(X) = p, Var(X) = p·q.

Binom dağılımı: X ~ B(n, p)

• Varsayımlar: (1) deneme sayısı n sabit, (2) her denemede iki sonuç, (3) başarı olasılığı p her denemede aynı, (4) denemeler bağımsız.
• OF: P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^(n−k), k = 0, 1, …, n. Burada C(n, k) = n! / (k!·(n−k)!).
• E(X) = n·p, Var(X) = n·p·q.
• MÇF: M(t) = (q + p·e^t)^n.
• n bağımsız Bernoulli değişkeninin toplamıdır; aynı p'ye sahip bağımsız binomların toplamı yine binomdur: B(n₁, p) + B(n₂, p) = B(n₁ + n₂, p).
• Tamamlayıcı olay kısayolu: P(X ≥ 1) = 1 − q^n.

Poisson dağılımı: X ~ Poisson(λ)

• OF: P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k!, k = 0, 1, 2, …
• E(X) = Var(X) = λ (ortalama ile varyansın eşitliği ayırt edici özelliktir).
• MÇF: M(t) = exp(λ·(e^t − 1)).

• Ardışık oranlar: P(X = k) / P(X = k − 1) = λ / k.

Hipergeometrik dağılım

• N birimlik anakütlede K "başarılı" birim var; iadesiz n birim seçiliyor; X = seçilen başarılı sayısı.
• OF: P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n).
• E(X) = n·K / N.
• Var(X) = n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n)/(N − 1).
• (N − n)/(N − 1) çarpanına sonlu anakütle düzeltme çarpanı denir; 1'den küçük olduğu için hipergeometrik varyans, aynı p = K/N ile binom varyansından küçüktür.
• N, n'ye göre çok büyükse (n/N ≤ 0,05 gibi) hipergeometrik ≈ binom (p = K/N).

Geometrik ve negatif binom dağılımları

• Geometrik: X = ilk başarıya kadar yapılan deneme sayısı (başarılı deneme dâhil). P(X = k) = q^(k−1) · p, k = 1, 2, …; E(X) = 1/p, Var(X) = q/p².
• P(X > k) = q^k (ilk k denemenin hepsi başarısız). Belleksizlik: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Belleksiz tek kesikli dağılım geometriktir.
• Negatif binom: X = r'inci başarıya kadar yapılan deneme sayısı. P(X = k) = C(k − 1, r − 1) · p^r · q^(k−r), k = r, r + 1, …; E(X) = r/p, Var(X) = r·q/p².

Özet tablo

Örnek 1 – Binom

Bir çağrı merkezinde aranan her müşterinin kampanyayı kabul etme olasılığı, diğerlerinden bağımsız olarak 0,3'tür. 5 müşteri aranıyor. X = kabul eden sayısı.

• X ~ B(5; 0,3).
• P(X = 2) = C(5, 2) · 0,3² · 0,7³ = 10 · 0,09 · 0,343 = 0,3087.
• P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7⁵ = 1 − 0,16807 = 0,83193.
• E(X) = 5 · 0,3 = 1,5; Var(X) = 5 · 0,3 · 0,7 = 1,05.

Örnek 2 – Poisson ve zaman ölçeklemesi

Bir acil servise saatte ortalama 2 hasta gelmektedir (Poisson süreci).

• Bir saatte tam 3 hasta gelme olasılığı: P(X = 3) = e^(−2) · 2³ / 3! = 0,1353 · 8 / 6 ≈ 0,1804.
• Bir saatte en fazla 1 hasta gelme olasılığı: P(X ≤ 1) = e^(−2) · (1 + 2) = 3 · 0,1353 ≈ 0,406.
• Yarım saatte hiç hasta gelmeme olasılığı: yarım saat için λ = 2 · 0,5 = 1 → P(Y = 0) = e^(−1) ≈ 0,3679.

Örnek 3 – Hipergeometrik

10 parçalık bir kutuda 4 kusurlu parça vardır. Kutudan iadesiz 3 parça seçiliyor; X = seçilen kusurlu sayısı.

• P(X = 1) = C(4, 1) · C(6, 2) / C(10, 3) = 4 · 15 / 120 = 0,5.
• E(X) = 3 · 4 / 10 = 1,2.
• Var(X) = 3 · 0,4 · 0,6 · (10 − 3)/(10 − 1) = 0,72 · 7/9 = 0,56.
• Seçim iadeli olsaydı X ~ B(3; 0,4) olur ve varyans 0,72 çıkardı; iadesiz seçimde varyans düzeltme çarpanı kadar küçülür.

Örnek 4 – Binoma Poisson yaklaşımı

Bir üretim hattında bir ürünün kusurlu olma olasılığı 0,002'dir. 1000 ürünlük bir partide hiç kusurlu olmaması olasılığı nedir?

• Kesin değer: B(1000; 0,002) için P(X = 0) = 0,998^1000 ≈ 0,1351.
• Poisson yaklaşımı: λ = n·p = 1000 · 0,002 = 2 → P(X = 0) ≈ e^(−2) ≈ 0,1353.
• İki değer neredeyse aynıdır; n büyük, p küçük olduğunda yaklaşım çok iyi çalışır.