KPSS A İstatistik Merkezi Limit Teoremi ve Yakınsama konu anlatımı

Merkezi limit teoremi (MLT), istatistiğin en önemli sonuçlarından biridir: Anakütle hangi dağılıma sahip olursa olsun (sonlu bir varyansı olması koşuluyla), bağımsız ve özdeş dağılımlı gözlemlerin ortalaması ve toplamı, örneklem büyüklüğü arttıkça normal dağılıma yaklaşır. Bu teorem sayesinde büyük örneklemlerde z tablosuyla olasılık hesaplanabilir, güven aralıkları ve testler kurulabilir.

Bu konu aynı zamanda yakınsama türlerini (olasılıkta, hemen hemen kesin, ortalama karede, dağılımda), büyük sayılar yasalarını ve olasılıklara üst/alt sınır veren Markov ve Chebyshev eşitsizliklerini kapsar. KPSS A İstatistik'te en sık karşılaşılan uygulamalar; X̄ ve toplam için olasılık hesabı, binom ve Poisson dağılımlarına normal yaklaşım (süreklilik düzeltmesiyle) ve Chebyshev sınırlarıdır.

Merkezi limit teoremi (Lindeberg–Lévy)

• X₁, …, Xₙ bağımsız, özdeş dağılımlı, E(X) = μ ve 0 < Var(X) = σ² < ∞ ise n → ∞ iken Zₙ = (X̄ − μ)/(σ/√n) dağılımda N(0, 1)'e yakınsar.
• Pratik kullanım (genellikle n ≥ 30): X̄ ≈ N(μ, σ²/n) ve toplam S = ΣXᵢ ≈ N(nμ, nσ²).
• Anakütle zaten normalse X̄ her n için tam normaldir; MLT'ye gerek yoktur.
• Koşul: Sonlu varyans gereklidir. Cauchy dağılımında ortalama ve varyans tanımsız olduğundan MLT uygulanamaz; Cauchy örneklem ortalaması yine Cauchy dağılımına uyar.
• Oran için: p̂ ≈ N(p, p(1 − p)/n).

Normal yaklaşımlar ve süreklilik düzeltmesi

• P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5); P(X ≥ k) ≈ P(Y ≥ k − 0,5)
  • P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)
  • P(X < k) = P(X ≤ k − 1) ≈ P(Y ≤ k − 0,5); P(X > k) ≈ P(Y ≥ k + 0,5)

Eşitsizlikler

• Markov: X ≥ 0 ve a > 0 için P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.
• Chebyshev: Her dağılım için P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k², yani P(|X − μ| < kσ) ≥ 1 − 1/k².
  • k = 2 → en az %75; k = 3 → en az 8/9 ≈ %88,9 (normal dağılımda bu oranlar %95,4 ve %99,7'dir).
• X̄ için Chebyshev: P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²). Bu eşitsizlik büyük sayılar zayıf yasasının kanıtıdır.

Yakınsama türleri

Örnek 1 – Toplamın dağılımı

Bir kolideki 36 paketin her birinin ağırlığı bağımsız olarak ortalaması 2 kg, standart sapması 0,5 kg olan bir dağılıma uymaktadır. Koli içeriğinin 73,5 kg'ı aşma olasılığı nedir? (Φ(0,5) = 0,6915)

• S ≈ N(36·2, 36·0,5²) = N(72, 9) → σ_S = 3.
• P(S > 73,5) = P(Z > (73,5 − 72)/3) = P(Z > 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085.

Örnek 2 – Binoma normal yaklaşım

Hilesiz bir para 400 kez atılıyor. En az 215 tura gelme olasılığı yaklaşık nedir? (Φ(1,45) = 0,9265)

• μ = 400·0,5 = 200, σ = √(400·0,5·0,5) = 10.
• Süreklilik düzeltmesi: P(X ≥ 215) ≈ P(Y ≥ 214,5).
• z = (214,5 − 200)/10 = 1,45 → P ≈ 1 − 0,9265 = 0,0735.

Örnek 3 – Chebyshev eşitsizliği

Ortalaması 50, standart sapması 5 olan (dağılımı bilinmeyen) bir değişken için P(40 < X < 60) en az kaçtır?

• 40 ve 60, ortalamadan k = 10/5 = 2 standart sapma uzaktadır.
• P(|X − 50| < 10) ≥ 1 − 1/2² = 0,75.

Örnek 4 – Chebyshev ve MLT ile örneklem büyüklüğü

σ² = 16 olan bir anakütlede X̄'nin μ'den en az 1 birim sapma olasılığının 0,05'i aşmaması isteniyor.

• Chebyshev: σ²/(n·1²) ≤ 0,05 → 16/n ≤ 0,05 → n ≥ 320.
• MLT ile: P(|X̄ − μ| ≥ 1) ≈ 0,05 için 1,96·4/√n ≤ 1 → √n ≥ 7,84 → n ≥ 61,47 → 62.
• Chebyshev dağılımdan bağımsız olduğu için çok daha "temkinli" (büyük) bir n verir.