KPSS A İstatistik Örnekleme Dağılımları (t, Ki-Kare, F) konu anlatımı

Bir istatistiğin (X̄, S², p̂ gibi) aynı büyüklükteki tüm olası örneklemler üzerinden aldığı değerlerin dağılımına örnekleme dağılımı denir. Örnekleme dağılımının standart sapmasına standart hata adı verilir. Tahmin ve hipotez testi yöntemlerinin tamamı bu dağılımlara dayanır.

Normal anakütleden alınan örneklemlerde dört temel dağılım ortaya çıkar: standart normal (Z), ki-kare (χ²), Student t ve Fisher F. KPSS A İstatistik'te bu konuda dağılımların nasıl türetildiği (tanımları), serbestlik dereceleri, beklenen değer–varyans formülleri, tablo değerlerinin kullanımı ve dağılımlar arasındaki ilişkiler (t² = F, 1/F, χ² toplamı) sorulur.

Örneklem ortalamasının dağılımı

• X₁, …, Xₙ bağımsız, E(X) = μ, Var(X) = σ² ise E(X̄) = μ, Var(X̄) = σ²/n; standart hata σ_X̄ = σ/√n.
• Anakütle normal ise her n için X̄ ~ N(μ, σ²/n); Z = (X̄ − μ)/(σ/√n) ~ N(0, 1).
• İadesiz seçimde ve sonlu anakütlede (N birim) Var(X̄) = (σ²/n)·(N − n)/(N − 1).
• Oran: p̂ = X/n için E(p̂) = p, Var(p̂) = p(1 − p)/n.
• İki bağımsız normal anakütle: X̄₁ − X̄₂ ~ N(μ₁ − μ₂, σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂).

Ki-kare dağılımı: χ²(k)

• Tanım: Z₁, …, Z_k bağımsız N(0, 1) ise Z₁² + … + Z_k² ~ χ²(k); k serbestlik derecesidir (sd).
• E = k, Var = 2k. Sağa çarpıktır, yalnızca pozitif değer alır; k büyüdükçe simetrikleşir.
• χ²(k) = Gamma(α = k/2, β = 2).
• Toplanabilirlik: Bağımsız χ²(k₁) ve χ²(k₂)'nin toplamı χ²(k₁ + k₂)'dir.
• Örneklem varyansı: Normal anakütlede (n − 1)S²/σ² ~ χ²(n − 1). Buradan E(S²) = σ² ve Var(S²) = 2σ⁴/(n − 1).
• μ biliniyorsa Σ(Xᵢ − μ)²/σ² ~ χ²(n); μ yerine X̄ kullanılınca bir serbestlik derecesi kaybedilir.
• Normal anakütlede X̄ ile S² bağımsızdır.

t dağılımı: t(k)

• Tanım: Z ~ N(0, 1) ve V ~ χ²(k) bağımsız ise T = Z / √(V/k) ~ t(k).
• 0 etrafında simetrik ve çan biçimlidir; kuyrukları normalden kalındır.
• E(T) = 0 (k > 1), Var(T) = k/(k − 2) (k > 2); varyans her zaman 1'den büyüktür.
• k → ∞ iken t(k) → N(0, 1). Bu yüzden büyük sd'de t tablosu değerleri z değerlerine yaklaşır (ör. t₀,₀₂₅ → 1,96).
• Uygulama: Normal anakütlede σ bilinmiyorsa T = (X̄ − μ)/(S/√n) ~ t(n − 1).

F dağılımı: F(k₁, k₂)

• Tanım: U ~ χ²(k₁) ve V ~ χ²(k₂) bağımsız ise F = (U/k₁)/(V/k₂) ~ F(k₁, k₂); k₁ pay, k₂ payda sd'sidir.
• Pozitif değerli ve sağa çarpıktır. E(F) = k₂/(k₂ − 2) (k₂ > 2); beklenen değer yalnızca payda sd'sine bağlıdır.

Özet tablo

Örnek 1 – X̄'nin dağılımı

Anakütle N(200, 400) dağılımına uymaktadır (σ = 20). n = 25 birimlik örneklemde P(X̄ > 208) nedir? (Φ(2) = 0,9772)

• Standart hata = 20/√25 = 4.
• z = (208 − 200)/4 = 2 → P(X̄ > 208) = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Örnek 2 – S²'nin dağılımı

σ² = 4 olan normal anakütleden n = 10 birimlik örneklem alınıyor. P(S² > c) = 0,05 olacak c değeri nedir? (χ²₀,₀₅;₉ = 16,919)

• 9S²/4 ~ χ²(9) → P(9S²/4 > 16,919) = 0,05.
• c = 16,919 · 4/9 ≈ 7,52.

Örnek 3 – t istatistiği

Normal anakütleden alınan n = 9 birimlik örneklemde x̄ = 52, s = 6'dır. μ = 48 varsayımı altında t değeri nedir?

• t = (52 − 48)/(6/√9) = 4/2 = 2, sd = 8.
• t₀,₀₅;₈ = 1,860 olduğundan bu değer t(8) dağılımının üst %5'lik bölgesine düşer.

Örnek 4 – F tablosu ve beklenen değer

F₀,₀₅(5, 10) = 3,33 veriliyor.

• F₀,₉₅(10, 5) = 1/F₀,₀₅(5, 10) = 1/3,33 ≈ 0,300.
• F(4, 10) dağılımının beklenen değeri 10/(10 − 2) = 1,25'tir (pay sd'si sonucu etkilemez).