KPSS A İstatistik Sürekli Dağılımlar (Normal, Üstel, Gamma) konu anlatımı

Sürekli dağılımlar, bir aralıktaki her değeri alabilen rastlantı değişkenlerini (süre, ağırlık, uzunluk, sınav puanı gibi) modeller. Sürekli bir X için olasılıklar olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) f(x)'in altında kalan alanla bulunur: P(a < X < b), f(x)'in a'dan b'ye integralidir. Tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; bu yüzden P(X ≤ a) = P(X < a) olur. Birikimli dağılım fonksiyonu (BDF) F(x) = P(X ≤ x) ile tanımlanır ve f(x) = F′(x) ilişkisi geçerlidir.

KPSS A Grubu İstatistik'te bu başlıkta en çok normal, üstel ve gamma dağılımları sorulur; sürekli tekdüze (uniform) dağılım da temel araç olarak sık kullanılır. Normal dağılım sorularında standartlaştırma ve z tablosu; üstel dağılımda belleksizlik ve Poisson süreciyle ilişki; gamma dağılımında ise gamma fonksiyonu, üstel değişkenlerin toplamı ve moment çıkaran fonksiyon (MÇF) öne çıkar.

Sürekli tekdüze dağılım: X ~ U(a, b)

• f(x) = 1/(b − a), a < x < b.
• E(X) = (a + b)/2, Var(X) = (b − a)²/12.
• P(c < X < d) = (d − c)/(b − a) (a ≤ c < d ≤ b); olasılık yalnızca aralığın uzunluğuna bağlıdır.

Normal dağılım: X ~ N(μ, σ²)

• f(x) = [1/(σ·√(2π))] · exp(−(x − μ)²/(2σ²)), −∞ < x < ∞.
• Çan biçimlidir ve μ etrafında simetriktir; ortalama = medyan = mod = μ. Çarpıklık 0, basıklık 3'tür. Dönüm noktaları μ − σ ve μ + σ'dadır.
• Standartlaştırma: Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1). P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ); Φ standart normal BDF'dir.
• Simetri: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(|Z| ≤ z) = 2Φ(z) − 1.

• MÇF: M(t) = exp(μt + σ²t²/2).

Üstel dağılım: X ~ Üstel(λ)

• f(x) = λ·e^(−λx), x > 0 (λ: oran parametresi; ortalama θ = 1/λ).
• F(x) = 1 − e^(−λx); P(X > x) = e^(−λx).
• E(X) = 1/λ, Var(X) = 1/λ² (standart sapma = ortalama).
• Medyan = ln2/λ ≈ 0,693/λ (ortalamadan küçüktür; dağılım sağa çarpıktır).

• MÇF: M(t) = λ/(λ − t), t < λ.

Gamma dağılımı: X ~ Gamma(α, β)

• Gamma fonksiyonu: Γ(α) = ∫₀^∞ x^(α−1)·e^(−x) dx; Γ(α + 1) = α·Γ(α); pozitif tam sayı n için Γ(n) = (n − 1)!; Γ(1/2) = √π.
• Şekil α, ölçek β parametreleriyle: f(x) = x^(α−1)·e^(−x/β) / [Γ(α)·β^α], x > 0.
• E(X) = αβ, Var(X) = αβ². MÇF: M(t) = (1 − βt)^(−α), t < 1/β.

Özet tablo

Örnek 1 – Normal dağılımda aralık olasılığı

Bir sınavın puanları X ~ N(70, 10²) dağılımına uymaktadır. Φ(1) = 0,8413 ve Φ(1,5) = 0,9332 veriliyor. P(60 < X < 85) nedir?

• z₁ = (60 − 70)/10 = −1, z₂ = (85 − 70)/10 = 1,5.
• P = Φ(1,5) − Φ(−1) = 0,9332 − (1 − 0,8413) = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745.

Örnek 2 – Üstel dağılım ve belleksizlik

Bir cihazın ömrü ortalaması 5 yıl olan üstel dağılıma uymaktadır (λ = 1/5 = 0,2).

• P(X > 10) = e^(−0,2·10) = e^(−2) ≈ 0,1353.
• P(X ≤ 5) = 1 − e^(−1) ≈ 0,6321 (ömrün ortalamayı aşmama olasılığı her üstel dağılımda 0,6321'dir).
• 3 yıl sorunsuz çalışmış bir cihazın en az 5 yıl daha çalışma olasılığı: P(X > 8 | X > 3) = P(X > 5) = e^(−1) ≈ 0,3679 (belleksizlik).
• Medyan = ln2/0,2 = 5 · 0,6931 ≈ 3,47 yıl (ortalamadan küçük).

Örnek 3 – Gamma ve Poisson bağlantısı

Bir tezgâhta işlemler birbirinden bağımsız ve her biri ortalaması 2 dakika olan üstel süreler alır. Üç işlemin toplam süresi T olsun.

• T ~ Gamma(α = 3, β = 2): E(T) = 3·2 = 6 dakika, Var(T) = 3·2² = 12.
• P(T > 4): Olaylar dakikada 1/2 oranla geldiğinden 4 dakikada gelen olay sayısı N ~ Poisson(4/2 = 2). T > 4 olması, 4 dakikada en fazla 2 işlem tamamlanması demektir: P(T > 4) = P(N ≤ 2) = e^(−2)·(1 + 2 + 2²/2) = 5e^(−2) ≈ 5 · 0,1353 = 0,6767.

Örnek 4 – Normal değişkenlerin farkı

X ~ N(50, 9) ve Y ~ N(40, 16) bağımsızdır. P(X > Y) nedir? (Φ(2) = 0,9772)

• D = X − Y ~ N(50 − 40, 9 + 16) = N(10, 25); σ_D = 5.
• P(X > Y) = P(D > 0) = P(Z > (0 − 10)/5) = P(Z > −2) = Φ(2) = 0,9772.