KPSS A İstatistik Olasılık Aksiyomları ve Temel Teoremler konu anlatımı

Modern olasılık kuramı, A. N. Kolmogorov'un 1933'te ortaya koyduğu aksiyomatik yaklaşıma dayanır. Bu yaklaşımda olasılık, bir deneyin olası sonuçlarının kümesi olan örnek uzay (S ya da Ω) üzerindeki olaylara 0 ile 1 arasında sayı atayan ve üç aksiyomu sağlayan bir fonksiyondur. Tümleyen kuralı, toplama kuralı, içerme-dışarma, monotonluk ve Boole/Bonferroni eşitsizlikleri gibi bütün temel sonuçlar bu üç aksiyomdan türetilir. Klasik (eşit olasılıklı) tanım, göreli sıklık yorumu ve geometrik olasılık ise bu genel çerçevenin özel durumları ya da yorumlarıdır.

Örnek uzay, olay ve olay cebiri

Kolmogorov aksiyomları

1. Negatif olmama: Her A olayı için P(A) ≥ 0.
2. Normlama: P(S) = 1.
3. Sayılabilir toplamsallık: A1, A2, … ikişer ikişer ayrık olaylar ise P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + …

Aksiyomlardan türetilen temel teoremler

• P(∅) = 0.

Olasılığın atanması

Örnek 1 (toplama ve fark kuralları). P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ve P(A ∩ B) = 0,2 veriliyor.

• P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7
• P(A' ∩ B') = 1 − P(A ∪ B) = 0,3 (De Morgan)
• P(A ∩ B') = P(A) − P(A ∩ B) = 0,5 − 0,2 = 0,3
• P(tam olarak biri) = 0,5 + 0,4 − 2 · 0,2 = 0,5

Örnek 2 (klasik tanım). İki zar atılıyor. Üst yüzlerin toplamının 7 ya da 11 olma olasılığı kaçtır?

Örnek uzayda 36 eş olasılıklı sonuç vardır. Toplam 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 sonuç. Toplam 11: (5,6), (6,5) → 2 sonuç. Olaylar ayrık olduğundan P = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9.

Örnek 3 (tümleyen ile "en az bir"). Rastgele seçilen 4 kişiden en az ikisinin aynı ayda doğmuş olma olasılığı kaçtır? (Her ay eşit olasılıklı kabul edilsin.)

Tümleyen olay "dördünün de farklı aylarda doğmuş olması"dır: (12 · 11 · 10 · 9)/12^4 = 11 880/20 736 ≈ 0,5729. İstenen olasılık 1 − 0,5729 ≈ 0,4271.

Örnek 4 (Bonferroni sınırları). P(A) = 0,7 ve P(B) = 0,6 ise P(A ∩ B) hangi aralıkta olabilir?

Alt sınır: P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1 = 0,3 (çünkü P(A ∪ B) en fazla 1 olabilir). Üst sınır: A ∩ B ⊂ B olduğundan P(A ∩ B) ≤ min(0,7; 0,6) = 0,6. Aralık [0,3; 0,6].