KPSS A İstatistik Beklenen Değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon konu anlatımı

Bir rastlantı değişkeninin dağılımı tüm bilgiyi taşır; ancak çoğu zaman bu bilgiyi birkaç sayıyla özetlemek isteriz. Beklenen değer (ortalama) dağılımın ağırlık merkezini, varyans ve standart sapma değerlerin bu merkez etrafındaki yayılımını ölçer. Daha yüksek momentler çarpıklık ve basıklık gibi şekil özelliklerini verir.

Moment çıkaran fonksiyon (MÇF) M(t) = E(e^(tX)) ise tüm momentleri tek bir fonksiyonda toplar: türevleri t = 0'da momentleri üretir, dağılımı tek türlü belirler ve bağımsız değişkenlerin toplamlarıyla çalışmayı çok kolaylaştırır.

Bu konu, dağılımlar, örnekleme dağılımları ve tahmin konularının hesap altyapısını oluşturur; sınavda hem doğrudan hesap hem de özellik (doğrusallık, varyansın ölçek davranışı) bilgisi olarak sorulur.

Beklenen değer

• Kesikli: E(X) = Σ x · p(x)
• Sürekli: E(X) = ∫ x · f(x) dx
• Bir fonksiyonun beklenen değeri (dağılımı yeniden bulmadan): E(g(X)) = Σ g(x) p(x) ya da ∫ g(x) f(x) dx.
• Doğrusallık: E(aX + b) = a E(X) + b; E(X + Y) = E(X) + E(Y) (bağımsızlık gerekmez).
• Genel olarak E(g(X)) ≠ g(E(X)); örneğin E(X²) ≠ (E(X))², E(1/X) ≠ 1/E(X).
• Negatif olmayan X için E(X) = ∫ P(X > x) dx (0'dan ∞'a); kesikli ve 0, 1, 2, … değerli ise E(X) = Σ P(X ≥ k) (k = 1, 2, …).

Varyans ve standart sapma

• Var(X) = E[(X − μ)²] = E(X²) − [E(X)]²: , μ = E(X).
• Standart sapma σ = √Var(X).
• Var(aX + b) = a² Var(X): ; sabit eklemek varyansı değiştirmez, işaret değişimi de değiştirmez: Var(−X) = Var(X).
• Var(X) ≥ 0; Var(X) = 0 ancak X (olasılık 1 ile) sabitse.
• E(X²) = Var(X) + [E(X)]² eşitliği sık kullanılır.
• Bağımsız X ve Y için Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) (genel durum "Ortak Dağılımlar" konusundadır).

Momentler

• k'ıncı (orijine göre) moment: μ'k = E(X^k); k'ıncı merkezî moment: μk = E[(X − μ)^k].
• Varyans ikinci merkezî momenttir: μ2 = μ'2 − (μ'1)².
• Çarpıklık katsayısı μ3/σ³, basıklık katsayısı μ4/σ⁴ (normal dağılımda 3; "fazla basıklık" μ4/σ⁴ − 3).

Markov ve Chebyshev eşitsizlikleri

• Markov: X ≥ 0 ve a > 0 için P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.
• Chebyshev: Her k > 0 için P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k², eşdeğer olarak P(|X − μ| < kσ) ≥ 1 − 1/k². Dağılım bilinmeden verilen bir alt/üst sınırdır (k = 2 için en az %75, k = 3 için en az 8/9).

Moment çıkaran fonksiyon (MÇF)

• M(t) = E(e^(tX)): , 0'ın bir komşuluğunda tanımlıysa.
• M(0) = 1: , M'(0) = E(X), M''(0) = E(X²), genel olarak M^(k)(0) = E(X^k). Böylece Var(X) = M''(0) − [M'(0)]².
• Kısayol: ln M(t) = K(t) (birikim üreten fonksiyon) için K'(0) = E(X), K''(0) = Var(X).

Sık kullanılan MÇF'ler:

Örnek 1 (kesikli tablo). X'in olasılık fonksiyonu P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,3; P(X = 2) = 0,4; P(X = 3) = 0,2 ise E(X), Var(X) ve σ kaçtır?

E(X) = 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 3 · 0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7. E(X²) = 0 + 1 · 0,3 + 4 · 0,4 + 9 · 0,2 = 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7. Var(X) = 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81; σ = 0,9.

Örnek 2 (sürekli). f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 ise E(X) ve Var(X) kaçtır?

E(X) = ∫ x · 2x dx = 2/3. E(X²) = ∫ x² · 2x dx = 2/4 = 1/2. Var(X) = 1/2 − (2/3)² = 1/2 − 4/9 = 9/18 − 8/18 = 1/18.

Örnek 3 (doğrusal dönüşüm). E(X) = 5 ve Var(X) = 4 ise Y = 3 − 2X için E(Y) ve Var(Y) kaçtır?

E(Y) = 3 − 2 · 5 = −7. Var(Y) = (−2)² · 4 = 16 (sabit 3 varyansı etkilemez, katsayının karesi alınır). σ_Y = 4.

Örnek 4 (MÇF'den moment). X'in MÇF'si M(t) = (0,3 + 0,7e^t)^10 ise E(X) ve Var(X) kaçtır?

Bu Binom(n = 10, p = 0,7) dağılımının MÇF'sidir; E(X) = np = 7, Var(X) = np(1 − p) = 10 · 0,7 · 0,3 = 2,1. Türevle doğrulama: M'(t) = 10 (0,3 + 0,7e^t)^9 · 0,7e^t ⇒ M'(0) = 7. M''(0) = 10 · 9 · 0,7² + 10 · 0,7 = 44,1 + 7 = 51,1. Var(X) = 51,1 − 49 = 2,1.

Örnek 5 (MÇF'yi tanıma). M(t) = e^(2t + 8t²) ise X'in dağılımı nedir?

e^(μt + σ²t²/2) biçimiyle karşılaştırılırsa μ = 2 ve σ²/2 = 8 ⇒ σ² = 16. X ~ Normal(2, 16), yani standart sapması 4'tür.