KPSS A İstatistik Rastlantı Değişkenleri konu anlatımı

Bir deneyin sonuçları çoğu zaman sayı değildir (tura–yazı, kusurlu–sağlam). Rastlantı değişkeni (rassal/rastgele değişken), örnek uzaydaki her sonuca bir gerçel sayı karşılık getiren fonksiyondur: X : S → ℝ. Örneğin üç para atışında "tura sayısı" X, her sonucu 0, 1, 2 ya da 3 sayısına götürür. Böylece olasılık hesapları sayılar üzerinde yapılabilir hâle gelir.

Rastlantı değişkenleri iki ana türdedir:

• Kesikli (discrete): Sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda değer alır (tura sayısı, kusurlu ürün sayısı, ilk başarıya kadarki deneme sayısı). Olasılıklar olasılık fonksiyonu p(x) = P(X = x) ile verilir.
• Sürekli (continuous): Bir aralıktaki her değeri alabilir (bekleme süresi, boy, ağırlık). Olasılıklar olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) altında kalan alanla hesaplanır; tek bir noktanın olasılığı sıfırdır.

Her iki türde de ortak araç dağılım fonksiyonu (birikimli dağılım fonksiyonu) F(x) = P(X ≤ x)'tir.

Kesikli rastlantı değişkeni

Olasılık fonksiyonu (olasılık kütle fonksiyonu) p(x) = P(X = x) için:

• p(x) ≥ 0 (her x için)
• Σ p(x) = 1: (tüm olası değerler üzerinden)
• P(X ∈ A) = Σ p(x) (x ∈ A)

Dağılım fonksiyonu F(x) = Σ p(t) (t ≤ x) basamak fonksiyonudur; her olası değerde p(x) kadar sıçrar: P(X = a) = F(a) − F(a⁻), burada F(a⁻) soldan limittir.

Sürekli rastlantı değişkeni

Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) için:

• f(x) ≥ 0

• f(x) bir olasılık değildir; 1'den büyük olabilir (örneğin [0; 0,5] üzerinde düzgün dağılımda f(x) = 2).

Dağılım fonksiyonu F(x) = P(X ≤ x)

• 0 ≤ F(x) ≤ 1; F azalmayan bir fonksiyondur.
• x → −∞ iken F(x) → 0, x → +∞ iken F(x) → 1.
• F sağdan süreklidir.
• P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a): ; P(X > a) = 1 − F(a).
• Sürekli durumda f(x) = F'(x) ve F(x) = ∫ f(t) dt (−∞'dan x'e).
• F hem sıçramalar hem sürekli artışlar içeriyorsa dağılım karma (karışık) dağılımdır; sıçrama noktalarında noktasal olasılık vardır.

Konum ölçüleri: yüzdelikler, medyan, mod

• p'inci yüzdelik (kantil): F(xp) = p eşitliğini sağlayan xp değeri. Medyan F(m) = 1/2 çözümüdür; birinci ve üçüncü dörttebirlikler F(x) = 1/4 ve F(x) = 3/4 çözümleridir.
• Mod: Kesikli durumda p(x)'i, sürekli durumda f(x)'i en büyük yapan değer.

Rastlantı değişkeninin fonksiyonu: Y = g(X)

• Doğrusal dönüşüm Y = aX + b (a ≠ 0) için f_Y(y) = f_X((y − b)/a) / |a|.
• X ~ Düzgün(0, 1) ise −ln X üstel dağılıma (ortalama 1) uyar; bu, benzetim (simülasyon) yöntemlerinin temelidir.

Sık karşılaşılan örnek dağılımlar (tanıtım)

(Bu dağılımların ayrıntıları "Olasılık Dağılımları" ünitesindeki kesikli ve sürekli dağılımlar konularında ele alınır.)

Örnek 1 (kesikli, sabit bulma). X'in olasılık fonksiyonu p(x) = c · x, x = 1, 2, 3, 4 ise c, P(X ≥ 3) ve F(2) kaçtır?

Toplam 1 olmalı: c(1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1 ⇒ c = 1/10. P(X ≥ 3) = (3 + 4)/10 = 7/10. F(2) = P(X ≤ 2) = (1 + 2)/10 = 3/10.

Örnek 2 (sürekli, sabit ve aralık olasılığı). f(x) = k · x², 0 ≤ x ≤ 3 (başka yerde 0) bir yoğunluk fonksiyonu ise k ve P(1 ≤ X ≤ 2) kaçtır?

∫ x² dx (0'dan 3'e) = 27/3 = 9 ⇒ 9k = 1 ⇒ k = 1/9. Dağılım fonksiyonu F(x) = x³/27 (0 ≤ x ≤ 3). P(1 ≤ X ≤ 2) = F(2) − F(1) = 8/27 − 1/27 = 7/27.

Örnek 3 (dağılım fonksiyonundan medyan). X'in dağılım fonksiyonu F(x) = 1 − e^(−2x), x ≥ 0 ise medyan ve P(X > 1) kaçtır?

F(m) = 1/2 ⇒ e^(−2m) = 1/2 ⇒ −2m = −ln 2 ⇒ m = (ln 2)/2 ≈ 0,347. P(X > 1) = 1 − F(1) = e^(−2) ≈ 0,135. Yoğunluk f(x) = F'(x) = 2e^(−2x)'tir.

Örnek 4 (dönüşüm). X ~ Düzgün(0, 1) ve Y = X² ise Y'nin yoğunluk fonksiyonu nedir?

0 < y < 1 için F_Y(y) = P(X² ≤ y) = P(X ≤ √y) = √y (X negatif değer almadığından). Türev alınırsa f_Y(y) = 1/(2√y), 0 < y < 1. Kontrol: ∫ 1/(2√y) dy (0'dan 1'e) = √1 − √0 = 1.