KPSS A İstatistik Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi konu anlatımı

Bir olayın olasılığı, elimizdeki bilgiye göre değişir. "Zarda çift sayı geldi" bilgisini aldıktan sonra "6 gelmiş olma" olasılığı artık 1/6 değil 1/3'tür. Koşullu olasılık, bir B olayının gerçekleştiği bilindiğinde başka bir A olayının olasılığını ölçer; bu bilgi örnek uzayı B'ye daraltır.

Bu konunun dört ana aracı vardır:

• Koşullu olasılığın tanımı ve çarpma kuralı (art arda çekilişler, zincir kuralı),
• Bağımsızlık (bir olayın gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmemesi),
• Toplam olasılık kuralı (bir olayın olasılığını, örnek uzayı parçalayarak hesaplama),
• Bayes teoremi (gözlenen sonuçtan geriye, nedenin olasılığına gitme).

KPSS A Grubu İstatistik sınavında bu konu hem doğrudan (tanı testi, makine–kusur, torba seçimi soruları) hem de rastlantı değişkenleri, dağılımlar ve istatistiksel çıkarım sorularının içinde dolaylı olarak sorulur.

Koşullu olasılık

P(B) > 0 olmak üzere, B verildiğinde A'nın koşullu olasılığı

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

biçiminde tanımlanır. Eşit olasılıklı sonlu bir örnek uzayda bu, P(A | B) = n(A ∩ B) / n(B) demektir: yeni örnek uzay B, istenen durumlar A ∩ B'dir.

• Sabit bir B için P(· | B) bir olasılık ölçüsüdür; aksiyomların hepsini sağlar. Örneğin P(A' | B) = 1 − P(A | B) ve P(A1 ∪ A2 | B) = P(A1 | B) + P(A2 | B) − P(A1 ∩ A2 | B).
• Genel olarak P(A | B) ≠ P(B | A). İkisi arasındaki köprü Bayes teoremidir.
• P(A | B) ile P(A | B') toplamının 1 olması gerekmez; toplamı 1 olan P(A | B) + P(A' | B)'dir.

Çarpma kuralı ve zincir kuralı

• P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)
• Zincir kuralı: P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1) · P(A2 | A1) · P(A3 | A1 ∩ A2) · … · P(An | A1 ∩ … ∩ An−1)

İadesiz (geri koymadan) art arda çekilişlerde her adımda torbanın yeni durumu kullanılır. Örneğin 5 kırmızı, 3 beyaz toplu torbadan iadesiz iki top çekilirse iki topun da kırmızı olma olasılığı (5/8) · (4/7) = 5/14'tür.

Bağımsızlık

• A ve B bağımsız ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ⇔ (P(B) > 0 ise) P(A | B) = P(A).
• A ile B bağımsızsa A ile B', A' ile B ve A' ile B' de bağımsızdır. Bu yüzden "en az biri" soruları tümleyenle kolayca çözülür: P(A ∪ B) = 1 − P(A') · P(B').
• Ayrık (bağdaşmaz) olay ≠ bağımsız olay.: P(A) > 0 ve P(B) > 0 iken A ve B ayrıksa P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B) olduğundan bu olaylar bağımlıdır: biri gerçekleşirse diğerinin gerçekleşmediği kesin olarak bilinir.
• Üç olayın karşılıklı (tam) bağımsızlığı için dört koşul gerekir: üç ikili çarpım eşitliği ve P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). İkişer ikişer bağımsızlık tam bağımsızlığı gerektirmez.
• n bağımsız olay için: P(hiçbiri) = Π (1 − P(Ai)), P(en az biri) = 1 − Π (1 − P(Ai)).

Toplam olasılık kuralı

B1, B2, …, Bk olayları örnek uzayın bir parçalanışı (ikişer ikişer ayrık, birleşimleri S, her biri pozitif olasılıklı) ise her A olayı için

P(A) = Σ P(Bi) · P(A | Bi)

En sık kullanılan biçimi iki parçalı olandır: P(A) = P(B) · P(A | B) + P(B') · P(A | B').

Ağaç diyagramında bu, A'ya ulaşan tüm dalların olasılık çarpımlarını toplamak demektir.

Bayes teoremi

Aynı parçalanış için

P(Bj | A) = P(Bj) · P(A | Bj) / Σ P(Bi) · P(A | Bi)

• P(Bj): önsel (prior) olasılık, gözlemden önceki bilgi,
• P(A | Bj): olabilirlik, Bj doğruysa gözlemin olasılığı,
• P(Bj | A): sonsal (posterior) olasılık, gözlemden sonra güncellenen bilgi.

Pratik kural: Sonsal = (ilgili dalın çarpımı) / (gözleme ulaşan tüm dalların çarpımlarının toplamı).

Tanı testi terimleri

Örnek 1 (daraltılmış örnek uzay). İki hilesiz zar atılıyor. Birinci zarın çift geldiği bilindiğine göre toplamın 8 olma olasılığı kaçtır?

Birinci zar çift olan sonuçlar 3 · 6 = 18 tanedir. Bunlardan toplamı 8 olanlar (2, 6), (4, 4), (6, 2): 3 tane. P = 3/18 = 1/6.

Örnek 2 (toplam olasılık ve Bayes). Bir fabrikada üretimin %50'si A, %30'u B, %20'si C makinesinde yapılıyor. Kusurlu ürün oranları sırasıyla %2, %3 ve %5'tir. Rastgele seçilen bir ürün kusurlu çıkıyor. Bu ürünün C makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

Toplam olasılık: P(K) = 0,50 · 0,02 + 0,30 · 0,03 + 0,20 · 0,05 = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029. Bayes: P(C | K) = 0,010 / 0,029 = 10/29 ≈ 0,345. Önselde %20 olan C'nin payı, kusur gözlendikten sonra yaklaşık %34,5'e çıkmıştır; çünkü C'nin kusur oranı en yüksektir.

Örnek 3 (tanı testi). Bir hastalığın toplumdaki yaygınlığı %1'dir. Testin duyarlılığı %95, yanlış pozitif oranı %5'tir. Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

P(+) = 0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,05 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059. P(H | +) = 0,0095 / 0,059 = 95/590 = 19/118 ≈ 0,161. Test "iyi" görünse de pozitif sonuçların yalnızca yaklaşık %16'sı gerçek hastadır; çünkü sağlıklı kişi sayısı çok fazla olduğundan yanlış pozitiflerin toplamı gerçek pozitifleri geçer.

Örnek 4 (iadesiz çekiliş, geriye doğru koşul). Torbada 4 kırmızı, 6 beyaz top vardır. İadesiz iki top çekiliyor. İkinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre birincinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

P(K1 ∩ K2) = (4/10) · (3/9) = 12/90. P(K2) = (4/10)(3/9) + (6/10)(4/9) = 12/90 + 24/90 = 36/90 = 2/5 (simetri gereği birinci çekilişle aynıdır). P(K1 | K2) = (12/90) / (36/90) = 1/3. Sezgisel olarak: ikinci top kırmızıysa geriye kalan 9 topun 3'ü kırmızıdır.