KPSS A İstatistik Ki-Kare Testleri konu anlatımı

Ki-kare (χ²) testleri, kategorik (sayım) verilerle çalışır ve gözlenen frekansların (O) H0 altında beklenen frekanslardan (E) ne kadar saptığını ölçer. Üç temel kullanımı vardır:

1. Uyum iyiliği testi: Tek bir kategorik değişkenin gözlenen dağılımı, belirli bir teorik dağılıma (eşit olasılık, 9:3:3:1 gibi oran, Poisson, binom, normal vb.) uyuyor mu?
2. Bağımsızlık testi: Tek bir örneklemde ölçülen iki kategorik değişken birbirinden bağımsız mı? (Çapraz tablo / kontenjans tablosu)
3. Homojenlik testi: Farklı anakütlelerden alınan bağımsız örneklemlerde bir kategorik değişkenin dağılımı aynı mı?

Tüm bu testlerde istatistik χ² = Σ(O − E)²/E biçimindedir, H0 doğruyken yaklaşık ki-kare dağılımına uyar ve test daima sağ kuyrukludur: gözlenen ile beklenen arasındaki fark büyüdükçe χ² büyür. KPSS'de beklenen frekansların bulunması, serbestlik derecesi, χ² değeri, 2×2 tablo kısayolu ve ilişki katsayıları sık sorulur.

Genel test istatistiği

• χ² = Σ (O − E)²/E: (tüm hücreler üzerinden)
• χ² ≥ 0'dır; O = E ise χ² = 0 olur.
• Karar: χ² > χ²(α; sd) ise H0 reddedilir. (χ²(α; sd): sağında α alan kalan tablo değeri.)
• Σ O = Σ E = n olduğundan Σ(O − E) = 0'dır; bu yüzden farkların kareleri kullanılır.

Uyum iyiliği testi

• H0: Veriler belirtilen dağılıma uyar. Beklenen frekans: Ei = n · pi (pi: H0 altındaki olasılık).
• Serbestlik derecesi: sd = k − 1 − m: (k: kategori sayısı, m: veriden tahmin edilen parametre sayısı).
  • Olasılıklar tamamen belirli (zarın hilesizliği, 3:1 oranı): m = 0 ⇒ sd = k − 1
  • Poisson uyumu, λ örneklemden tahmin edilmiş: sd = k − 2
  • Normal uyumu, μ ve σ tahmin edilmiş: sd = k − 3

Bağımsızlık ve homojenlik testleri

• r satır, c sütunlu tablo; n toplam gözlem.
• Beklenen frekans: Eij = (i. satır toplamı × j. sütun toplamı)/n
• Serbestlik derecesi: sd = (r − 1)(c − 1)
• Bağımsızlık testinde H0: "İki değişken bağımsızdır"; homojenlik testinde H0: "Anakütlelerin dağılımları aynıdır". Hesaplama her ikisinde de aynıdır; fark örnekleme planında ve yorumdadır.

2×2 tablo kısayolu ve Yates düzeltmesi

Tablo hücreleri a, b (1. satır) ve c, d (2. satır) ise:

• χ² = n(ad − bc)² / [(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)]: , sd = 1
• Yates süreklilik düzeltmesi: (küçük örneklemlerde): χ² = n(|ad − bc| − n/2)² / [(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)]. Düzeltme χ² değerini küçültür, yani testi daha tutucu yapar.
• Beklenen frekanslar çok küçükse 2×2 tablolarda Fisher kesin testi kullanılır.

Beklenen frekans koşulu

• Yaklaşımın geçerli olması için genellikle her hücrede E ≥ 5 olmalıdır (daha esnek kural: hücrelerin en fazla %20'sinde E < 5 ve hiçbir hücrede E < 1).
• Koşul sağlanmazsa komşu kategoriler birleştirilir (serbestlik derecesi buna göre azalır) veya kesin testler kullanılır.
• Koşul gözlenen frekanslar için değil beklenen frekanslar için aranır.

İlişki (birliktelik) ölçüleri

• Tüm oranlar aynı kalıp örneklem büyüklüğü k katına çıkarsa χ² de k katına çıkar; bu nedenle χ²'nin büyüklüğü tek başına ilişkinin gücünü göstermez, katsayılar kullanılır.

Örnek 1 (zarın hilesizliği). Bir zar 120 kez atılmış; 1'den 6'ya kadar yüzler sırasıyla 25, 17, 15, 23, 24, 16 kez gelmiştir. α = 0,05 ile zarın hilesiz olduğunu test ediniz. (χ²(0,05; 5) = 11,070)

• H0: Tüm yüzlerin olasılığı 1/6. Her yüz için E = 120/6 = 20
• (O − E)² değerleri: 25, 9, 25, 9, 16, 16 ⇒ toplam 100
• χ² = 100/20 = 5,0; sd = 6 − 1 = 5
• 5,0 < 11,070 ⇒ H0 reddedilemez; zarın hileli olduğuna dair yeterli kanıt yoktur.

Örnek 2 (Mendel oranı). Bir çaprazlamada 160 bitkinin fenotipleri 100, 25, 25, 10 olarak gözlenmiştir. Teorik oran 9:3:3:1'dir. (χ²(0,05; 3) = 7,815)

• E: 160 · 9/16 = 90, 160 · 3/16 = 30, 30, 160 · 1/16 = 10
• χ² = (100 − 90)²/90 + (25 − 30)²/30 + (25 − 30)²/30 + (10 − 10)²/10 = 1,111 + 0,833 + 0,833 + 0 ≈ 2,78
• sd = 4 − 1 = 3; 2,78 < 7,815 ⇒ H0 reddedilemez; veriler 9:3:3:1 oranıyla uyumludur.

Örnek 3 (2×2 bağımsızlık, kısayol). 100 kişilik örneklemde cinsiyet ile bir ürünü tercih etme durumu:

• Kısayol: χ² = 100(30 · 30 − 20 · 20)²/(50 · 50 · 50 · 50) = 100 · 500²/6.250.000 = 25.000.000/6.250.000 = 4,0
• Kontrol: Her hücrede E = 50 · 50/100 = 25 ve (O − E)²/E = 25/25 = 1; dört hücre toplamı 4,0.
• sd = 1; χ²(0,05; 1) = 3,841. 4,0 > 3,841 ⇒ H0 reddedilir; cinsiyet ile tercih arasında ilişki vardır.
• φ = √(4/100) = 0,20 (zayıf ilişki). Yates düzeltmesiyle χ² = 100(500 − 50)²/6.250.000 ≈ 3,24 olur ve H0 reddedilemez; küçük farklarda düzeltme kararı değiştirebilir.

Örnek 4 (2×3 bağımsızlık, beklenen frekanslar). 200 kişiye yerleşim yeri ve bir öneriye görüşü sorulmuştur:

• Beklenen frekanslar (her iki satır için): 100 · 80/200 = 40, 100 · 70/200 = 35, 100 · 50/200 = 25
• Kent satırı: 100/40 + 25/35 + 25/25 = 2,5 + 0,714 + 1 = 4,214; Kırsal satırı aynı sapmaları verir: 4,214
• χ² = 2 · 4,214 ≈ 8,43; sd = (2 − 1)(3 − 1) = 2; χ²(0,05; 2) = 5,991
• 8,43 > 5,991 ⇒ H0 reddedilir. Cramér V = √(8,43/(200 · 1)) ≈ 0,21.