KPSS A İstatistik Parametrik Olmayan Testler konu anlatımı

Parametrik olmayan (dağılımdan bağımsız) testler, anakütlenin belirli bir dağılıma (özellikle normal dağılıma) uyduğu varsayımını gerektirmez. Çoğu, gözlemlerin kendisi yerine sıralarını (ranklarını) veya işaretlerini kullanır. Bu nedenle:

• Normallik varsayımı sağlanmadığında, örneklem küçük olduğunda,
• Veriler sıralı (ordinal) ölçekte olduğunda,
• Aykırı (uç) değerler bulunduğunda

tercih edilir. Hipotezler genellikle medyan ya da dağılımların konumu üzerine kurulur. Buna karşılık, parametrik testlerin varsayımları sağlandığında parametrik olmayan testlerin gücü daha düşüktür; çünkü sıralamaya geçerken verideki bilginin bir kısmı kaybolur.

Sıralama ve eşit değerler

• Tüm gözlemler küçükten büyüğe sıralanır ve 1, 2, …, N sıra numaraları verilir.
• Eşit değerlere: (bağlara) kapladıkları sıraların ortalaması verilir. Örneğin 2., 3. ve 4. sıradaki üç eşit değerin her biri 3 sırasını alır.
• Sıraların toplamı daima N(N + 1)/2'dir; bu, hesap kontrolü için kullanılır.

İşaret testi

• Eşleştirilmiş farkların (veya medyandan sapmaların) yalnızca işaretleri kullanılır; sıfır farklar atılır.
• H0 altında artı işaret sayısı X ~ Binom(n, 0,5). p-değeri binom olasılıklarıyla hesaplanır.

Wilcoxon işaretli sıra testi (eşleştirilmiş örneklemler)

1. Farklar d = x − y hesaplanır; d = 0 olanlar atılır, n kalan fark sayısıdır.
2. Mutlak farklar |d| sıralanır.
3. Pozitif farkların sıra toplamı T+, negatif farkların sıra toplamı T− bulunur. T+ + T− = n(n + 1)/2.
4. Test istatistiği genellikle T = min(T+, T−). T ≤ T kritik ise H0 reddedilir.

• Büyük örneklem yaklaşımı: E(T) = n(n + 1)/4, Var(T) = n(n + 1)(2n + 1)/24, z = (T − E(T))/√Var(T).
• İşaret testinden farkı: farkların yalnızca yönünü değil büyüklüğünü de (sıraları aracılığıyla) kullanır, bu yüzden genellikle daha güçlüdür.

Mann-Whitney U testi (bağımsız iki örneklem)

1. İki örneklem birleştirilerek sıralanır; R1 ve R2 sıra toplamları bulunur (R1 + R2 = N(N + 1)/2).
2. U1 = n1·n2 + n1(n1 + 1)/2 − R1, U2 = n1·n2 − U1 (ya da U2 = n1·n2 + n2(n2 + 1)/2 − R2).
3. U = min(U1, U2); U ≤ U kritik ise H0 reddedilir (küçük U, gruplar arasında belirgin ayrışma demektir).

• Büyük örneklem yaklaşımı: E(U) = n1·n2/2, Var(U) = n1·n2(n1 + n2 + 1)/12, z = (U − E(U))/√Var(U).

Kruskal-Wallis H testi (bağımsız k örneklem)

• Tüm N gözlem birlikte sıralanır; her grubun sıra toplamı Ri bulunur.
• H = [12/(N(N + 1))] · Σ(Ri²/ni) − 3(N + 1)
• H0 altında H yaklaşık χ² dağılımına, sd = k − 1 ile uyar; test sağ kuyrukludur.

Friedman testi (k işlem, b blok)

• Her blok içinde işlemler 1'den k'ye sıralanır; her işlemin sıra toplamı Rj bulunur (ΣRj = b·k(k + 1)/2).
• χ²r = [12/(b·k(k + 1))] · ΣRj² − 3b(k + 1): , yaklaşık χ² dağılımı, sd = k − 1.

Spearman sıra korelasyonu

• Her iki değişken ayrı ayrı sıralanır; di sıra farklarıdır.
• rs = 1 − 6Σdi²/[n(n² − 1)]: (bağ yoksa). −1 ≤ rs ≤ 1.

Örnek 1 (Mann-Whitney U). İki yöntemle elde edilen puanlar: A: 12, 15, 18, 20 (n1 = 4); B: 10, 11, 14, 16, 17 (n2 = 5). α = 0,05 ile çift yönlü test ediniz (n1 = 4, n2 = 5 için U kritik = 1).

• Birleşik sıralama: 10(B)=1, 11(B)=2, 12(A)=3, 14(B)=4, 15(A)=5, 16(B)=6, 17(B)=7, 18(A)=8, 20(A)=9
• R1 = 3 + 5 + 8 + 9 = 25; R2 = 1 + 2 + 4 + 6 + 7 = 20. Kontrol: 25 + 20 = 45 = 9 · 10/2
• U1 = 4 · 5 + 4 · 5/2 − 25 = 20 + 10 − 25 = 5; U2 = 20 − 5 = 15; U = 5
• 5 > 1 olduğundan H0 reddedilemez; iki yöntemin dağılımları arasında anlamlı fark yoktur.

Örnek 2 (Wilcoxon işaretli sıra testi). 8 kişinin bir programdan önceki ve sonraki puanlarının farkları (sonra − önce): +5, −2, +8, +3, 0, +6, −1, +4. (n = 7 için çift yönlü α = 0,05'te T kritik = 2; tek yönlü α = 0,05'te T kritik = 3)

• Sıfır fark atılır ⇒ n = 7
• Mutlak farklar ve sıraları: 1→1, 2→2, 3→3, 4→4, 5→5, 6→6, 8→7
• T− = 1 + 2 = 3 (−1 ve −2 farkları); T+ = 28 − 3 = 25. Kontrol: n(n + 1)/2 = 28
• T = 3. Çift yönlü testte 3 > 2 ⇒ H0 reddedilemez. H1 "program puanı artırır" (tek yönlü) ise 3 ≤ 3 ⇒ H0 reddedilir.

Örnek 3 (Kruskal-Wallis). Her birinde 4 gözlem bulunan üç grubun (N = 12) sıra toplamları R1 = 12, R2 = 26, R3 = 40'tır. (χ²(0,05; 2) = 5,991)

• Kontrol: 12 + 26 + 40 = 78 = 12 · 13/2
• H = [12/(12 · 13)] · (12² + 26² + 40²)/4 − 3 · 13 = (1/13) · (144 + 676 + 1600)/4 − 39 = 605/13 − 39 ≈ 46,54 − 39 = 7,54
• 7,54 > 5,991 ⇒ H0 reddedilir; grupların en az birinin dağılımı farklıdır.

Örnek 4 (işaret testi). 10 çift gözlemde farkların 8'i pozitif, 2'si negatiftir. H1: medyan fark > 0.

• H0 altında X ~ Binom(10; 0,5). p = P(X ≥ 8) = [C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)]/2¹⁰ = (45 + 10 + 1)/1024 = 56/1024 ≈ 0,0547
• p > 0,05 ⇒ α = 0,05'te H0 reddedilemez (α = 0,10'da reddedilir).

Örnek 5 (Spearman). n = 6 birim için iki jüri sıralaması arasındaki farkların kareleri toplamı Σd² = 6'dır.

• rs = 1 − 6 · 6/[6 · (36 − 1)] = 1 − 36/210 ≈ 0,829; jüriler arasında güçlü pozitif uyum vardır.