KPSS A İstatistik Varyans Testleri konu anlatımı

Varyans testleri, anakütlenin yayılımına (değişkenliğine) ilişkin iddiaları sınar. Ortalama testleri "merkez" hakkında karar verirken, varyans testleri "tutarlılık, hassasiyet, risk" gibi kavramlarla ilgilidir: bir makinenin ürettiği parçaların ağırlıklarındaki değişkenlik, bir yatırım aracının getirisindeki oynaklık, iki ölçüm cihazından hangisinin daha tutarlı olduğu gibi.

İki temel test vardır:

• Tek anakütle varyansı testi (χ² testi): H0: σ² = σ0². Test istatistiği χ² = (n − 1)s²/σ0² olup n − 1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uyar.
• İki anakütle varyansının karşılaştırılması (F testi): H0: σ1² = σ2². Test istatistiği F = s1²/s2² olup (n1 − 1, n2 − 1) serbestlik dereceli F dağılımına uyar.

Her iki test de anakütlelerin normal dağıldığı varsayımına dayanır ve bu varsayımın bozulmasına ortalama testlerinden çok daha duyarlıdır. Üçten fazla grubun varyans eşitliği için Bartlett ve Levene testleri kullanılır. KPSS'de test istatistiğinin hesaplanması, serbestlik dereceleri, red bölgesi, F tablosunun alt kuyruk değerleri ve σ² için güven aralığı sıkça sorulur.

Gösterim

• χ²(a; sd): sd serbestlik dereceli ki-kare dağılımında sağında a alan kalan değer. Örneğin χ²(0,05; 15) = 24,996 ve χ²(0,95; 15) = 7,261.
• F(a; v1, v2): (v1, v2) serbestlik dereceli F dağılımında sağında a alan kalan değer (v1 pay, v2 payda serbestlik derecesi).

Tek anakütle varyansı testi

• Varsayım: X ~ Normal, n birimlik rastgele örneklem, s² = Σ(xi − x̄)²/(n − 1).
• Test istatistiği: χ² = (n − 1)s²/σ0², sd = n − 1.
• (n − 1)s² = Σ(xi − x̄)² olduğundan χ² = Σ(xi − x̄)²/σ0² şeklinde de yazılabilir.
• H0 standart sapma ile verilse bile (H0: σ = σ0) test aynı istatistikle yapılır; σ0 karesi alınarak paydaya yazılır.

• Ki-kare dağılımı simetrik değildir (sağa çarpıktır); bu yüzden çift yönlü testte iki kritik değer ayrı ayrı tablodan okunur, "± kritik değer" yazılmaz.
• H0 doğruyken E(χ²) = n − 1'dir; χ² değeri sd'ye yakınsa s² ile σ0² birbirine yakındır.

σ² için güven aralığı

%(1 − α) güven aralığı:

[(n − 1)s²/χ²(α/2; n − 1) ; (n − 1)s²/χ²(1 − α/2; n − 1)]

• Büyük tablo değeri alt sınırı, küçük tablo değeri üst sınırı verir.
• σ için güven aralığı, sınırların karekökü alınarak bulunur.
• Aralık s² etrafında simetrik değildir.
• Çift yönlü test ile güven aralığı denktir: σ0² aralığın dışındaysa H0 reddedilir.

İki anakütle varyansının karşılaştırılması (F testi)

• Varsayım: İki bağımsız örneklem, her iki anakütle normal.
• Test istatistiği: F = s1²/s2², sd = (n1 − 1, n2 − 1). H0 doğruyken σ1² = σ2² olduğundan bu oran F dağılımına uyar.
• F daima pozitiftir ve F dağılımı sağa çarpıktır.

• Alt kuyruk değeri: F(1 − α; v1, v2) = 1/F(α; v2, v1). Örneğin F(0,05; 10, 5) = 4,74 ise F(0,95; 5, 10) = 1/4,74 ≈ 0,211. Serbestlik derecelerinin yer değiştirdiğine dikkat edin.
• σ1²/σ2² için %(1 − α) güven aralığı: [(s1²/s2²)/F(α/2; v1, v2) ; (s1²/s2²)·F(α/2; v2, v1)]. Aralık 1'i içeriyorsa varyansların eşit olduğu reddedilemez.

k anakütle varyansının eşitliği

• Bartlett testi: Normallik varsayımı altında güçlüdür; ancak normallikten sapmaya çok duyarlıdır. İstatistiği yaklaşık χ² (sd = k − 1) dağılır.
• Levene testi: Gözlemlerin grup ortalamasından (ya da medyanından) mutlak sapmaları üzerinde ANOVA uygular; normallikten sapmaya karşı daha dayanıklıdır.
• Varyans eşitliği (homojenlik), havuzlanmış t testi ve ANOVA'nın ön koşuludur; bu nedenle bu testler genellikle ortalama karşılaştırmasından önce yapılır.

Örnek 1 (sağ kuyruk χ² testi). Bir dolum makinesinin dolum miktarlarının varyansının 30 ml²'yi aşmaması isteniyor. n = 16 şişelik örneklemde s² = 45 bulunmuştur. α = 0,05 ile H0: σ² = 30, H1: σ² > 30 hipotezlerini test ediniz. (χ²(0,05; 15) = 24,996)

• χ² = (n − 1)s²/σ0² = 15 · 45/30 = 675/30 = 22,5
• 22,5 < 24,996 olduğundan H0 reddedilemez. Örneklem varyansı 30'dan büyük olsa da bu fark %5 düzeyinde anlamlı değildir.

Örnek 2 (sol kuyruk χ² testi). Yeni bir üretim yönteminin ürün uzunluklarındaki varyansı 12 mm²'nin altına düşürdüğü iddia ediliyor. n = 21 birimlik örneklemde s² = 6 bulunmuştur. α = 0,05 ile test ediniz. (χ²(0,95; 20) = 10,851)

• H0: σ² = 12, H1: σ² < 12
• χ² = 20 · 6/12 = 10,0
• Sol kuyruk testinde red bölgesi χ² < 10,851'dir. 10,0 < 10,851 olduğundan H0 reddedilir; yeni yöntem değişkenliği anlamlı biçimde azaltmıştır.

Örnek 3 (F testi: tek yönlü ve çift yönlü karşılaştırma). İki makineden bağımsız örneklemler alınmıştır: n1 = 11, s1² = 48; n2 = 16, s2² = 16. (F(0,05; 10, 15) = 2,54; F(0,025; 10, 15) = 3,06)

• F = s1²/s2² = 48/16 = 3,0; sd = (10, 15)
• H1: σ1² > σ2², α = 0,05: 3,0 > 2,54 ⇒ H0 reddedilir.
• H1: σ1² ≠ σ2², α = 0,05: Büyük varyans zaten payda olduğu için F = 3,0, kritik değer F(0,025; 10, 15) = 3,06'dır. 3,0 < 3,06 ⇒ H0 reddedilemez.
• Aynı veriyle tek yönlü test reddederken çift yönlü test reddetmeyebilir; çünkü çift yönlü testte her kuyruğa yalnızca α/2 düşer.

Örnek 4 (σ² ve σ için güven aralığı). n = 10 birimlik örneklemde s² = 18 bulunmuştur. σ² için %95 güven aralığını bulunuz. (χ²(0,025; 9) = 19,023; χ²(0,975; 9) = 2,700)

• (n − 1)s² = 9 · 18 = 162
• Alt sınır = 162/19,023 ≈ 8,52; üst sınır = 162/2,700 = 60,0
• σ² için %95 GA: (8,52; 60,0). σ için: (√8,52; √60) ≈ (2,92; 7,75)
• Aralığın s² = 18 etrafında simetrik olmadığına dikkat edin.