KPSS A İstatistik Hipotez Testinin Temel Kavramları (Hata Türleri, Güç) konu anlatımı

Hipotez testi, anakütle parametresi (μ, p, σ² vb.) hakkında öne sürülen bir iddianın örneklem verisiyle sınanmasıdır. Test; bir sıfır hipotezi (H0) ile buna karşı kurulan alternatif hipotezin (H1) belirlenmesiyle başlar. Örneklemden hesaplanan test istatistiği, H0 doğruyken bilinen bir örnekleme dağılımına (Z, t, χ², F vb.) sahiptir. Test istatistiği red (kritik) bölgesine düşerse H0 reddedilir, düşmezse "H0 reddedilemez" denir.

Karar örneklemle verildiği için iki tür hata yapılabilir: I. tip hata (doğru H0'ı reddetmek) ve II. tip hata (yanlış H0'ı reddetmemek). I. tip hata olasılığı anlamlılık düzeyi α, II. tip hata olasılığı β ile gösterilir. Testin gücü (1 − β), H0 yanlışken onu reddetme olasılığıdır. KPSS A Grubu İstatistik'te bu konu hem kavramsal (hata türleri, p-değeri yorumu, α–β–n ilişkisi) hem de sayısal (verilen karar kuralı için α, β ve güç hesabı; gerekli örneklem büyüklüğü) olarak sorulur.

Hipotezler

• Sıfır hipotezi (H0): "Fark yok, etki yok" iddiasıdır; eşitlik içerir (μ = μ0, p = p0, σ² = σ0²). Test boyunca doğru olduğu varsayılır.
• Alternatif hipotez (H1): Araştırmacının kanıtlamak istediği iddiadır.
  • Çift yönlü: H1: μ ≠ μ0
  • Sağ kuyruk (üst yönlü): H1: μ > μ0
  • Sol kuyruk (alt yönlü): H1: μ < μ0
• Basit hipotez: Dağılımı tamamen belirler (ör. μ = 50, σ biliniyor). Bileşik hipotez: Birden fazla parametre değeri içerir (ör. μ > 50).

Karar tablosu

• α = P(H0'ı reddet | H0 doğru) → anlamlılık düzeyi (testin büyüklüğü, "size").
• β = P(H0'ı reddetme | H0 yanlış)
• Güç = 1 − β = P(H0'ı reddet | H0 yanlış)
• 1 − α: güven düzeyidir; çift yönlü test ile %(1 − α) güven aralığı birbirine denktir: μ0 aralığın dışındaysa H0 reddedilir.

Kritik değerler (sık kullanılan)

p-değeri

• p-değeri: H0 doğruyken, gözlenen test istatistiği kadar ya da ondan daha uç bir değer elde etme olasılığıdır.
  • Sağ kuyruk: p = P(Z ≥ z_hes), sol kuyruk: p = P(Z ≤ z_hes), çift yönlü: p = 2·P(Z ≥ |z_hes|).
• Karar kuralı: p ≤ α ise H0 reddedilir; p > α ise H0 reddedilemez.
• p-değeri, H0'ın doğru olma olasılığı değildir; H0 doğru varsayılarak hesaplanan bir koşullu olasılıktır.

Güç fonksiyonu ve etkileyen faktörler

• Güç fonksiyonu π(θ) = P(H0'ı reddet | θ). H0 altındaki değerlerde π(θ) ≤ α'dır; basit H0 için π(θ0) = α olur.
• Gücü artıran etkenler:
  1. Örneklem büyüklüğünün (n) artması (standart hata σ/√n küçülür),
  2. α'nın büyütülmesi (red bölgesi genişler; ancak I. tip hata riski artar),
  3. Gerçek değer ile H0 değeri arasındaki farkın (etki büyüklüğü) artması,
  4. Anakütle varyansının küçülmesi,
  5. Gerçek değer H1'in yönündeyken tek yönlü test kullanılması.
• n sabitken α ile β ters yönde hareket eder: α küçültülürse β büyür. İkisini birlikte küçültmenin tek yolu n'yi artırmaktır.

Normal ortalama testinde β ve güç

σ biliniyor, H0: μ = μ0, H1: μ > μ0 ve karar kuralı "x̄ > c ise H0 reddedilir" olsun. Standart hata SE = σ/√n.

• α = P(x̄ > c | μ = μ0) = P(Z > (c − μ0)/SE)
• β(μ1) = P(x̄ ≤ c | μ = μ1) = Φ((c − μ1)/SE)
• Güç(μ1) = 1 − β(μ1)

Gerekli örneklem büyüklüğü

Tek yönlü testte α düzeyinde, μ1 değerinde 1 − β gücüne ulaşmak için:

• n = [(z_α + z_β)·σ / (μ1 − μ0)]²: (sonuç her zaman yukarı yuvarlanır)
• Çift yönlü testte z_α yerine z_(α/2) kullanılır.

Neyman-Pearson Önsavı

İki basit hipotez (H0: θ = θ0, H1: θ = θ1) için verilen α düzeyindeki en güçlü test, olabilirlik oranına dayanır: L(θ1)/L(θ0) > k ise H0 reddedilir. Oran büyüdükçe veri H1'i daha çok destekler.

Örnek 1 (α, β ve güç). Bir makinenin ürettiği parçaların ağırlığı normal dağılımlı ve σ = 15 gramdır. H0: μ = 100, H1: μ > 100 hipotezleri n = 25 birimlik örneklemle test edilecek ve x̄ > 104,5 ise H0 reddedilecektir. α ile μ = 106 iken β ve gücü bulunuz.

• SE = 15/√25 = 3
• α = P(x̄ > 104,5 | μ = 100) = P(Z > (104,5 − 100)/3) = P(Z > 1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668
• β = P(x̄ ≤ 104,5 | μ = 106) = P(Z ≤ (104,5 − 106)/3) = P(Z ≤ −0,5) = 0,3085
• Güç = 1 − 0,3085 = 0,6915

Örnek 2 (kesikli dağılımda α ve güç). Bir para 8 kez atılıyor. H0: p = 0,5 (hilesiz) ve H1: p > 0,5 için karar kuralı "7 veya daha fazla tura gelirse H0 reddedilir" şeklindedir. α ile p = 0,75 iken gücü bulunuz.

• α = P(X ≥ 7 | p = 0,5) = [C(8,7) + C(8,8)]/2⁸ = (8 + 1)/256 = 9/256 ≈ 0,0352
• Güç = P(X ≥ 7 | p = 0,75) = 8·(0,75)⁷·(0,25) + (0,75)⁸ = 0,2670 + 0,1001 ≈ 0,3671
• β = 1 − 0,3671 = 0,6329. Kesikli dağılımlarda α tam olarak 0,05 gibi bir değere ayarlanamayabilir.

Örnek 3 (örneklem büyüklüğü). σ = 12 olan normal anakütlede H0: μ = 60, H1: μ > 60 testi α = 0,05 ile yapılacaktır. Gerçek ortalama 64 iken testin gücünün 0,80 olması için gereken en küçük n kaçtır? (z0,05 = 1,645; z0,20 = 0,84)

• n = [(1,645 + 0,84)·12/4]² = (2,485·3)² = 7,455² = 55,58
• Yukarı yuvarlanır: n = 56

Örnek 4 (p-değeri). H0: μ = 40, H1: μ < 40 testinde z = −1,80 hesaplanmıştır. p-değerini bulup α = 0,05 ve α = 0,01 için karar veriniz. (Φ(1,80) = 0,9641)

• Sol kuyruk testi: p = P(Z ≤ −1,80) = 1 − 0,9641 = 0,0359
• 0,0359 ≤ 0,05 → α = 0,05 düzeyinde H0 reddedilir.
• 0,0359 > 0,01 → α = 0,01 düzeyinde H0 reddedilemez.