Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
6 bölüm · ~11 dk · 9 etkileşim
1Konu özeti
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
Ortalama ve oran testleri, hipotez testlerinin en sık kullanılan ve KPSS'de en çok soru çıkan grubudur. Temel mantık her testte aynıdır:
Test istatistiği = (Tahmin edici − H0'daki değer) / Tahmin edicinin standart hatası
Hangi dağılımın (Z ya da t) kullanılacağı; anakütle varyansının bilinip bilinmediğine, örneklem büyüklüğüne ve anakütlenin normal olup olmadığına bağlıdır. Tek örneklemde bir ortalamayı ya da oranı sabit bir değerle; iki örneklemde ise iki ortalamayı (bağımsız ya da eşleştirilmiş) veya iki oranı karşılaştırırız.
2Temel kavramlar / formüller
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
Hangi test? (karar şeması)
| Durum | Test istatistiği | Dağılım |
|---|---|---|
| Tek ortalama, σ biliniyor (normal anakütle ya da n büyük) | z = (x̄ − μ0)/(σ/√n) | Z |
| Tek ortalama, σ bilinmiyor, normal anakütle | t = (x̄ − μ0)/(s/√n) | t, sd = n − 1 |
| Tek ortalama, σ bilinmiyor, n ≥ 30 | z ≈ (x̄ − μ0)/(s/√n) | yaklaşık Z |
| Tek oran | z = (p̂ − p0)/√(p0(1 − p0)/n) | yaklaşık Z |
| İki bağımsız ortalama, σ1 ve σ2 biliniyor | z = (x̄1 − x̄2 − D0)/√(σ1²/n1 + σ2²/n2) | Z |
| İki bağımsız ortalama, σ'lar bilinmiyor ama eşit | t = (x̄1 − x̄2 − D0)/[sp·√(1/n1 + 1/n2)] | t, sd = n1 + n2 − 2 |
| İki bağımsız ortalama, σ'lar bilinmiyor ve eşit değil (Welch) | t = (x̄1 − x̄2 − D0)/√(s1²/n1 + s2²/n2) | t, sd ≈ Welch-Satterthwaite |
| Eşleştirilmiş (bağımlı) örneklemler | t = (d̄ − D0)/(s_d/√n) | t, sd = n − 1 (n: çift sayısı) |
| İki oran | z = (p̂1 − p̂2)/√(p̄(1 − p̄)(1/n1 + 1/n2)) | yaklaşık Z |
Önemli ayrıntılar
Havuzlanmış varyans
sp² = [(n1 − 1)s1² + (n2 − 1)s2²]/(n1 + n2 − 2). İki örneklem varyansının serbestlik dereceleriyle ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.
Karar kuralları
| H1 | Red bölgesi (z için) | p-değeri |
|---|---|---|
| μ > μ0 | z > z_α | P(Z ≥ z) |
| μ < μ0 | z < −z_α | P(Z ≤ z) |
| μ ≠ μ0 | z > z_(α/2) veya z < −z_(α/2) | 2·P(Z ≥ z'nin mutlak değeri) |
t testinde aynı kurallar t_(α; sd) kritik değerleriyle uygulanır.
3Çözümlü örnekler
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
Örnek 1 (tek ortalama, z-testi). Bir ampul üreticisi ampullerin ortalama ömrünün 500 saatten fazla olduğunu iddia ediyor. σ = 40 saat biliniyor. 64 ampullük örneklemde x̄ = 510 bulunmuştur. α = 0,05 için iddiayı test ediniz.
- H0: μ = 500, H1: μ > 500 (sağ kuyruk)
- SE = 40/√64 = 5 → z = (510 − 500)/5 = 2,00
- Kritik değer z0,05 = 1,645. 2,00 > 1,645 → H0 reddedilir; iddia desteklenir.
- p-değeri = P(Z ≥ 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228.
Örnek 2 (tek ortalama, t-testi). Normal dağılımlı bir anakütleden alınan n = 16 birimlik örneklemde x̄ = 52,4 ve s = 6 bulunmuştur. H0: μ = 50, H1: μ ≠ 50 hipotezlerini α = 0,05 ile test ediniz. (t0,025;15 = 2,131)
- σ bilinmiyor, n küçük → t-testi, sd = 15
- SE = 6/√16 = 1,5 → t = (52,4 − 50)/1,5 = 1,60
- |t| = 1,60 < 2,131 → H0 reddedilemez.
Örnek 3 (tek oran). Bir partinin oy oranının %60 olduğu ileri sürülmektedir. 600 kişilik rastgele örneklemde 342 kişi bu partiyi desteklemiştir. Oranın %60'tan düşük olup olmadığını α = 0,05 ile test ediniz.
- H0: p = 0,60, H1: p < 0,60; p̂ = 342/600 = 0,57
- SE = √(0,60·0,40/600) = √0,0004 = 0,02
- z = (0,57 − 0,60)/0,02 = −1,50
- Kritik değer −1,645. −1,50 > −1,645 → H0 reddedilemez. p-değeri = P(Z ≤ −1,5) = 0,0668 > 0,05.
Örnek 4 (iki bağımsız ortalama, havuzlanmış t). İki öğretim yöntemiyle eğitilen iki gruptan n1 = n2 = 8 öğrenci seçiliyor. x̄1 = 74,5; x̄2 = 69; s1² = 14; s2² = 18. Varyanslar eşit varsayılıyor. H0: μ1 = μ2, H1: μ1 ≠ μ2 hipotezlerini test ediniz. (t0,025;14 = 2,145; t0,005;14 = 2,977)
- sp² = (7·14 + 7·18)/14 = (98 + 126)/14 = 224/14 = 16 → sp = 4
- SE = 4·√(1/8 + 1/8) = 4·0,5 = 2
- t = (74,5 − 69)/2 = 2,75, sd = 8 + 8 − 2 = 14
- 2,75 > 2,145 → α = 0,05 düzeyinde H0 reddedilir; 2,75 < 2,977 → α = 0,01 düzeyinde reddedilemez.
4Sık yapılan hatalar
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 2 bölüm kaldı.
5Sınavda nasıl soruluyor
Arada küçük sorular var, atlamadan çöz.
6Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.