KPSS A İstatistik Durağanlık ve ARIMA Modellerine Giriş konu anlatımı

Klasik ayrıştırma yöntemleri zaman serisini trend, mevsimsellik gibi deterministik bileşenlere ayırır. Box-Jenkins yaklaşımı ise seriyi bir stokastik sürecin gerçekleşmesi olarak görür ve serinin kendi geçmiş değerleriyle geçmiş şoklarının (hatalarının) doğrusal birleşimi olarak modellenmesini önerir. Bu modellerin temel koşulu durağanlıktır: ortalaması, varyansı ve otokovaryans yapısı zamanla değişmeyen seriler modellenebilir. Durağan olmayan seriler çoğunlukla fark alma ile durağan hale getirilir. Durağan seriler için AR (otoregresif), MA (hareketli ortalama) ve ARMA modelleri; fark alınarak durağanlaştırılan seriler için ARIMA(p, d, q) modelleri kullanılır. Model belirlemede otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları temel araçtır. KPSS A Grubu İstatistik'te bu konu; durağanlık tanımı, beyaz gürültü ve rassal yürüyüş, birim kök testleri, ACF/PACF ile model tanıma, AR(1) ve MA(1) süreçlerinin ortalama, varyans ve otokorelasyonları, basit öngörü hesapları ve ARIMA gösterimi üzerinden sorulur.

Durağanlık

• Zayıf (kovaryans) durağanlık: (1) E(Yt) = μ sabit, (2) Var(Yt) = σ² sabit, (3) Cov(Yt, Yt−k) yalnızca gecikme k'ye bağlı, t'ye bağlı değil.
• Katı (güçlü) durağanlık: Ortak olasılık dağılımlarının tamamı zaman kaymasına göre değişmez.
• Durağan olmayan seri örnekleri: trendli seriler, varyansı zamanla büyüyen seriler, rassal yürüyüş.
• Deterministik trend (trend-durağan): Yt = a + bt + εt; trendden arındırılınca durağanlaşır.
• Stokastik trend (fark-durağan): Rassal yürüyüş gibi; fark alınınca durağanlaşır.

Temel süreçler

Birim kök testleri

Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon

• Box-Pierce: Q = n · Σ rk² (k = 1, …, m)
  • Ljung-Box: Q = n(n + 2) · Σ rk²/(n − k) ~ χ²(m) (tahmin edilen ARMA parametre sayısı kadar sd düşülür).

AR, MA ve ARMA modelleri

• AR(p): Yt = c + φ1Yt−1 + … + φpYt−p + εt.
  • AR(1): Yt = c + φYt−1 + εt. Durağanlık koşulu |φ| < 1. Ortalama μ = c/(1 − φ), varyans σ²/(1 − φ²), ρk = φᵏ (geometrik sönümlenir; φ < 0 ise işaret değiştirerek). PACF 1. gecikmeden sonra kesilir.
  • AR(2) durağanlık koşulları: φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1. Genel olarak karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır.
• MA(q): Yt = μ + εt + θ1εt−1 + … + θqεt−q.
  • Sonlu sayıda beyaz gürültünün doğrusal birleşimi olduğu için her zaman durağandır. Çevrilebilirlik (invertibility) için MA(1)'de |θ| < 1 gerekir.
  • MA(1): E(Yt) = μ; Var(Yt) = σ²(1 + θ²); ρ1 = θ/(1 + θ²), k ≥ 2 için ρk = 0. |ρ1| en fazla 0,5 olabilir.
  • Not: Bazı kaynaklar MA terimini eksi işaretle yazar (Yt = μ + εt − θεt−1); o zaman ρ1 = −θ/(1 + θ²) olur.
• Tanıma kuralları:
  • AR(p): ACF sönümlenerek azalır; PACF p. gecikmeden sonra kesilir.
  • MA(q): ACF q. gecikmeden sonra kesilir; PACF sönümlenerek azalır.
  • ARMA(p, q): ACF ve PACF'nin ikisi de sönümlenir.
  • Durağan olmayan seri: ACF çok yavaş (neredeyse doğrusal) azalır ⇒ fark alınmalıdır.
• ARIMA(p, d, q): d kez farkı alınmış serinin ARMA(p, q) modeli. ARIMA(0, 1, 0) rassal yürüyüştür. Mevsimsel model: SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)s.

Box-Jenkins yöntemi

1. Tanımlama: Grafik, ACF/PACF ve birim kök testleriyle d, p ve q'nun belirlenmesi.
2. Tahmin: Parametrelerin (EKK ya da en çok olabilirlik ile) tahmini.
3. Tanısal kontrol: Artıkların beyaz gürültü olup olmadığının (ACF, Ljung-Box) incelenmesi; model seçiminde AIC/BIC (küçük olan tercih edilir) ve tutumluluk (parsimony) ilkesi.
4. Öngörü: Uygun bulunan modelle öngörü yapılması.

• AR(1) öngörüsü: Ŷt+1 = c + φYt; Ŷt+h = c + φŶt+h−1. Ufuk uzadıkça öngörüler ortalamaya (μ) yakınsar. MA(q) modelinde q adımdan sonraki öngörüler ortalamaya eşittir.

Örnek 1 – AR(1) özellikleri: Yt = 10 + 0,6Yt−1 + εt, Var(εt) = 16.

• |0,6| < 1 ⇒ durağan. μ = 10/(1 − 0,6) = 25.
• Var(Yt) = 16/(1 − 0,36) = 16/0,64 = 25.
• ρ1 = 0,6; ρ2 = 0,6² = 0,36; ρ3 = 0,216 …

Örnek 2 – MA(1) özellikleri: Yt = 5 + εt + 0,5εt−1, Var(εt) = 4.

• E(Yt) = 5; Var(Yt) = 4 · (1 + 0,25) = 5.
• ρ1 = 0,5/(1 + 0,25) = 0,4; ρ2 = ρ3 = … = 0.

Örnek 3 – AR(1) öngörüsü: Örnek 1'deki modelde son gözlem Yt = 30.

• Ŷt+1 = 10 + 0,6 · 30 = 28; Ŷt+2 = 10 + 0,6 · 28 = 26,8. Öngörüler ortalama olan 25'e doğru yaklaşır.

Örnek 4 – Model tanıma: Örneklem ACF'si 1. gecikmede anlamlı, sonraki gecikmelerde ±2/√n sınırları içinde; PACF ise sönümlenerek azalıyor ⇒ MA(1). ACF sönümlenirken PACF 2. gecikmeden sonra kesiliyorsa ⇒ AR(2).

Örnek 5 – Fark derecesi: Y: 100, 104, 110, 118, 128.

• Birinci farklar: 4, 6, 8, 10 (sabit değil); ikinci farklar: 2, 2, 2 (sabit) ⇒ seri ikinci derece trend içerir, d = 2 ile durağanlaşır.

Örnek 6 – Ljung-Box: n = 100 artık için r1 = 0,2, r2 = 0,1.

• Q = 100 · 102 · [0,04/99 + 0,01/98] = 10200 · (0,000404 + 0,000102) ≈ 5,16 (Box-Pierce: 100 · 0,05 = 5,0).
• χ²(0,05; 2) = 5,99 > 5,16 ⇒ H0 reddedilmez; artıklar beyaz gürültü kabul edilir.