KPSS A İstatistik Trend Analizi konu anlatımı

Trend (seküler eğilim), bir zaman serisinin kısa dönemli dalgalanmalardan arındırıldığında uzun dönemde izlediği genel yöndür. Trend analizinin amacı bu genel eğilimi bir matematiksel fonksiyonla ifade etmek, serinin gelecekteki trend değerlerini öngörmek ve trendi seriden ayırarak diğer bileşenleri (mevsimsel, konjonktürel, düzensiz) incelemektir. Trend; serbest el (grafik) yöntemi, yarı ortalamalar yöntemi, hareketli ortalamalar yöntemi ve en küçük kareler (EKK) yöntemi ile belirlenebilir. Sınavda en çok sorulan, EKK ile doğrusal trend denkleminin zaman değişkeni t, Σt = 0 olacak biçimde kodlanarak hesaplanmasıdır. KPSS A Grubu İstatistik'te bu konu; trend türleri, t kodlaması (tek ve çift sayıda gözlem), a ve b'nin hesaplanması, trend ile öngörü, orijin kaydırma, yıllık trendin aylık trende dönüştürülmesi ve ikinci derece/üstel trendler üzerinden sorulur.

Trend türleri

Trend belirleme yöntemleri

EKK ile doğrusal trend

• Normal denklemler: ΣY = na + bΣt ve ΣtY = aΣt + bΣt².
• t kodlaması ile Σt = 0 yapılırsa: denklemler basitleşir:
  • a = ΣY / n (serinin ortalaması; orijindeki trend değeri)
  • b = ΣtY / Σt²
• n tek ise: orta dönem orijin olur: t = …, −2, −1, 0, 1, 2, … (birim: 1 dönem).
• n çift ise: orijin ortadaki iki dönemin arasına düşer: t = …, −5, −3, −1, 1, 3, 5, … Bu durumda t'nin birimi yarım dönemdir; bulunan b yarım dönemlik artıştır, bir dönemlik artış 2b'dir.
• Kodlama kullanılmazsa (t = 1, 2, …, n): b = (ΣtY − n·t̄·Ȳ) / (Σt² − n·t̄²) ve a = Ȳ − b·t̄.
• Trend doğrusu her zaman (t̄, Ȳ) noktasından geçer ve Σ(Y − T) = 0'dır.
• Yararlı toplamlar: n = 5 için Σt² = 10; n = 7 için Σt² = 28; n = 4 (−3, −1, 1, 3) için Σt² = 20; n = 6 (−5, …, 5) için Σt² = 70.

Öngörü, orijin kaydırma ve birim dönüşümü

• Öngörü: istenen döneme karşılık gelen t değeri denklemde yerine konur (çift n'de adımın 2 olduğuna dikkat).
• Orijin kaydırma: T = a + bt'de orijin h dönem ileri alınırsa yeni denklem T = (a + bh) + bt olur; eğim değişmez.
• Yıllık trendden aylık trende geçiş:
  • Yıllık toplam değerlerden elde edilen T = a + bt (t yıl) için aylık değerlerin trendi, t ay cinsinden: T = a/12 + (b/144)t (sabit 12'ye, eğim 12 · 12 = 144'e bölünür).
  • Yıllık ortalama (aylık ortalama) değerlerden elde edilmişse sabit aynı kalır, eğim 12'ye bölünür: T = a + (b/12)t.
  • Çeyreklik geçişte benzer biçimde sabit 4'e, eğim 16'ya bölünür (toplam veride).
• Trendden sapma: (Y / T) · 100 çarpımsal modelde yıllık veride C × I'yı (konjonktürel–düzensiz göreli değeri) verir; Y − T toplamsal modelde C + I'dır.

İkinci derece trend (Σt = 0 ile)

• ΣY = na + cΣt²; ΣtY = bΣt²; Σt²Y = aΣt² + cΣt⁴ (Σt = Σt³ = 0 olduğu için).
• n = 5 (t = −2, …, 2) için Σt² = 10, Σt⁴ = 34.

Örnek 1 – Tek sayıda gözlem: 2019–2023 yıllarına ait satışlar (bin adet): 12, 15, 17, 20, 26.

• t: −2, −1, 0, 1, 2 (orijin 2021); ΣY = 90 ⇒ a = 90/5 = 18
• ΣtY = −24 − 15 + 0 + 20 + 52 = 33; Σt² = 10 ⇒ b = 33/10 = 3,3
• T = 18 + 3,3t (orijin 2021, t birimi 1 yıl). 2025 için t = 4: T = 18 + 13,2 = 31,2 bin adet.

Örnek 2 – Çift sayıda gözlem: 2018–2023 yıllarına ait değerler: 10, 11, 15, 16, 20, 24.

• t: −5, −3, −1, 1, 3, 5 (orijin 2020 ile 2021'in ortası, t birimi yarım yıl); ΣY = 96 ⇒ a = 16
• ΣtY = −50 − 33 − 15 + 16 + 60 + 120 = 98; Σt² = 70 ⇒ b = 98/70 = 1,4 (yarım yıllık artış) ⇒ yıllık artış 2,8.
• 2025 için t: 2023 = 5, 2024 = 7, 2025 = 9 ⇒ T = 16 + 1,4 · 9 = 28,6.

Örnek 3 – Yarı ortalamalar: 2016–2023 değerleri: 20, 24, 22, 26 | 30, 32, 31, 35.

• İlk yarı ortalaması 92/4 = 23 (2017,5'e yerleşir), ikinci yarı 128/4 = 32 (2021,5'e yerleşir).
• b = (32 − 23)/4 = 2,25 (yıllık). 2024 trend değeri: 23 + 2,25 · (2024 − 2017,5) = 23 + 14,625 = 37,625.

Örnek 4 – Yıllıktan aylığa: Yıllık toplam satışların trendi T = 1200 + 144t'dir (t yıl, orijin 1 Temmuz 2020).

• Aylık trend: T = 1200/12 + (144/144)t = 100 + 1 · t (t ay, orijin yine 1 Temmuz 2020). Her ay trend 1 birim artar.

Örnek 5 – Üstel trend: ln T = 4 + 0,05t bulunmuşsa T = e⁴ · (e^0,05)ᵗ ve e^0,05 ≈ 1,0513 olduğundan seri her dönem yaklaşık %5,13 büyümektedir.