KPSS A İstatistik Hareketli Ortalamalar ve Üstel Düzeltme konu anlatımı

Hareketli ortalamalar ve üstel düzeltme, zaman serilerindeki kısa dönemli ve düzensiz dalgalanmaları düzleştirerek (yumuşatarak) serinin temel eğilimini ortaya çıkaran ve kısa dönemli öngörü üreten yöntemlerdir. Hareketli ortalama, belirli sayıda ardışık gözlemin ortalamasını alarak her adımda bir dönem kayar; üstel düzeltme ise geçmiş gözlemlerin hepsini, geriye gidildikçe geometrik olarak azalan ağırlıklarla kullanır. Tek (basit) üstel düzeltme trend ve mevsimsellik içermeyen seriler için, Holt yöntemi trendli seriler için, Holt-Winters yöntemi ise trendli ve mevsimsel seriler için uygundur. Öngörülerin başarısı MAD, MSE ve MAPE gibi hata ölçüleriyle değerlendirilir. KPSS A Grubu İstatistik'te bu konu; hareketli ortalama ve üstel düzeltme hesapları, α'nın etkisi, ağırlıklar, Holt yöntemi ve hata ölçüleri üzerinden sorulur.

Basit hareketli ortalama (HO)

• k dönemlik hareketli ortalama: HOt = (Yt + Yt−1 + … + Yt−k+1) / k.
• Düzleştirme (trend belirleme) amacıyla: ortalama, kapsadığı dönemlerin ortasına yazılır (merkezli). k tek ise doğrudan ortadaki döneme düşer; k çift ise iki dönemin arasına düşer ve ikinci kez ikişerli ortalama alınarak merkezlenir (ör. 2 × 4 HO: (Yt−2 + 2Yt−1 + 2Yt + 2Yt+1 + Yt+2)/8).
• Öngörü amacıyla: Ft+1 = HOt, yani gelecek dönemin öngörüsü son k gözlemin ortalamasıdır.
• Özellikler:
  • k büyüdükçe seri daha çok düzleşir, ancak değişikliklere daha geç tepki verir.
  • Periyodu k'ye (ya da k'nin bir bölenine) eşit olan düzenli dalgalanmalar tamamen yok edilir. Bu yüzden çeyreklik veride 4, aylık veride 12 dönemlik HO mevsimselliği ortadan kaldırır.
  • Merkezli k dönemlik HO'da (k tek) serinin başından ve sonundan (k − 1)/2'şer, toplam k − 1 değer kaybedilir; n gözlemden n − k + 1 HO değeri elde edilir.
  • Denklem vermez; doğrusal trendli bir seride öngörü amaçlı HO trendin gerisinde kalır.
• Ağırlıklı hareketli ortalama: Ft+1 = Σ wi · Yt−i+1 (Σwi = 1); genellikle son gözlemlere daha büyük ağırlık verilir.

Tek (basit) üstel düzeltme

• Ft+1 = αYt + (1 − α)Ft: = Ft + α(Yt − Ft), 0 < α < 1. Yeni öngörü = eski öngörü + α × (son hata).
• Açılım: Ft+1 = αYt + α(1 − α)Yt−1 + α(1 − α)²Yt−2 + … Yt−j'nin ağırlığı α(1 − α)ʲ'dir; ağırlıklar geometrik azalır ve toplamları 1'e yaklaşır. Son m gözlemin toplam ağırlığı 1 − (1 − α)ᵐ'dir.
• α büyük (1'e yakın): son gözleme çok ağırlık, hızlı tepki, az düzleştirme. α küçük: güçlü düzleştirme, yavaş tepki.
• α genellikle hata kareler ortalamasını (MSE) en küçük yapacak biçimde seçilir. Başlangıç değeri F1 çoğunlukla ilk gözlem ya da ilk birkaç gözlemin ortalaması alınır.
• k dönemlik HO ile benzer ortalama yaşa sahip α: α = 2/(k + 1).
• Tek üstel düzeltme trendli seride sistematik olarak geride kalır; tüm ileri öngörüler aynıdır (Ft+m = Ft+1).

Holt (çift parametreli) doğrusal üstel düzeltme

• Düzey: Lt = αYt + (1 − α)(Lt−1 + Tt−1)
• Eğim (trend): Tt = β(Lt − Lt−1) + (1 − β)Tt−1
• m adım ileri öngörü: Ft+m = Lt + m · Tt
• Holt-Winters: yöntemi bunlara üçüncü bir düzeltme sabitiyle (γ) mevsimsel bileşeni ekler (toplamsal ya da çarpımsal).

Öngörü hata ölçüleri (et = Yt − Ft)

Örnek 1 – 3 dönemlik HO: Y: 12, 15, 18, 15, 21, 24.

• Merkezli HO değerleri: (12 + 15 + 18)/3 = 15 (t = 2); (15 + 18 + 15)/3 = 16 (t = 3); (18 + 15 + 21)/3 = 18 (t = 4); (15 + 21 + 24)/3 = 20 (t = 5). 6 gözlemden 6 − 3 + 1 = 4 değer elde edilir.
• Öngörü amaçlı kullanımda F7 = (15 + 21 + 24)/3 = 20.

Örnek 2 – Tek üstel düzeltme: α = 0,3; F1 = 50; Y1 = 60, Y2 = 45, Y3 = 55.

• F2 = 0,3 · 60 + 0,7 · 50 = 18 + 35 = 53
• F3 = 0,3 · 45 + 0,7 · 53 = 13,5 + 37,1 = 50,6
• F4 = 0,3 · 55 + 0,7 · 50,6 = 16,5 + 35,42 = 51,92

Örnek 3 – Ağırlıklar: α = 0,4 için son gözlemin ağırlığı 0,4; bir öncekinin 0,4 · 0,6 = 0,24; iki öncekinin 0,4 · 0,6² = 0,144. Son üç gözlemin toplam ağırlığı 1 − 0,6³ = 0,784.

Örnek 4 – Holt yöntemi: Lt−1 = 100, Tt−1 = 5, Yt = 110, α = 0,5, β = 0,4.

• Lt = 0,5 · 110 + 0,5 · (100 + 5) = 55 + 52,5 = 107,5
• Tt = 0,4 · (107,5 − 100) + 0,6 · 5 = 3 + 3 = 6
• İki dönem sonrası öngörü: Ft+2 = 107,5 + 2 · 6 = 119,5

Örnek 5 – Hata ölçüleri: Y: 100, 110, 120, 130; F: 96, 115, 118, 125 ⇒ e: 4, −5, 2, 5.

• MAD = (4 + 5 + 2 + 5)/4 = 4; MSE = (16 + 25 + 4 + 25)/4 = 17,5
• MAPE = (4/100 + 5/110 + 2/120 + 5/130)/4 · 100 ≈ (0,0400 + 0,0455 + 0,0167 + 0,0385)/4 · 100 ≈ %3,51
• Ortalama hata = 6/4 = 1,5; izleme sinyali = 6/4 = 1,5.