KPSS A İstatistik Çarpıklık ve Basıklık konu anlatımı

Merkezi eğilim ve dağılım ölçüleri bir dağılımın nerede toplandığını ve ne kadar yayıldığını söyler; ancak dağılımın biçimini anlatmaz. Biçim iki ölçüyle özetlenir:

• Çarpıklık (asimetri): Dağılımın simetriden sapma yönü ve derecesi. Uzun kuyruk sağdaysa sağa (pozitif), soldaysa sola (negatif) çarpıktır.
• Basıklık (sivrilik): Dağılımın tepesinin sivriliği ve kuyruklarının kalınlığı; normal dağılımla karşılaştırılarak yorumlanır.

Bu ölçülerin çoğu merkezi momentlere dayanır; çarpıklık için ayrıca ortalama–medyan–mod ilişkisini ve kartilleri kullanan pratik katsayılar vardır.

Merkezi momentler

• r'inci merkezi moment: mᵣ = Σ(xᵢ − x̄)ʳ / n (frekanslı veride Σfᵢ(xᵢ − x̄)ʳ / n).
• m₁ = 0 (sapmalar toplamı sıfır), m₂ = varyans (n ile bölünmüş), m₃ çarpıklığın, m₄ basıklığın temelidir.
• Tek dereceli momentler (m₃) sapmaların işaretini korur: büyük pozitif sapmalar baskınsa m₃ > 0, büyük negatif sapmalar baskınsa m₃ < 0.

Çarpıklık ve ortalama–medyan–mod

• Ortalama uç değerlere en duyarlı ölçü olduğundan uzun kuyruğun yönüne çekilir. Medyan daima ortalama ile mod arasındadır (tek modlu, hafif çarpık dağılımlarda).
• Tipik örnekler: gelir, servet, bekleme süresi, sigorta hasar tutarları → sağa çarpık. Kolay bir sınavdaki puanlar, emeklilik yaşı → sola çarpık.

Çarpıklık katsayıları

Basıklık

• Moment basıklık katsayısı: β₂ = m₄ / m₂² = m₄ / σ⁴ (bazı kaynaklarda a₄).
• Fazlalık (aşırı) basıklık: γ₂ = β₂ − 3.

• Başvuru değerleri: normal dağılım β₂ = 3, sürekli tekdüze (uniform) dağılım β₂ = 1,8, üstel dağılım β₂ = 9 (çarpıklık 2).
• β₂ her zaman pozitiftir ve β₂ ≥ 1 + γ₁² sağlanır.

Doğrusal dönüşümün etkisi

Y = a + b·X ise:

• b > 0: çarpıklık ve basıklık katsayıları değişmez (birimsizdirler).
• b < 0: çarpıklık katsayısının işareti değişir, büyüklüğü aynı kalır; basıklık değişmez (m₄ ve m₂² çift kuvvetlerdir).
• Momentlerin kendisi değişir: m₃(Y) = b³·m₃(X), m₄(Y) = b⁴·m₄(X).

Kutu grafiğinden çarpıklık okuma

• Medyan çizgisi kutunun ortasında ve bıyıklar eşitse → simetrik.
• Medyan kutunun sol (Q1) tarafına yakın, sağ bıyık uzunsa → sağa çarpık.
• Medyan kutunun sağ (Q3) tarafına yakın, sol bıyık uzunsa → sola çarpık.

Örnek 1 – Pearson katsayıları. x̄ = 52, Medyan = 50, Mod = 46, s = 8.

• Sk₁ = (52 − 46) / 8 = 6 / 8 = 0,75
• Sk₂ = 3·(52 − 50) / 8 = 6 / 8 = 0,75
• Mod < Medyan < Ortalama ve katsayılar pozitif → sağa çarpık.

Örnek 2 – Bowley katsayısı. Q1 = 20, Medyan = 30, Q3 = 50.

• Sk_B = (50 + 20 − 2·30) / (50 − 20) = 10 / 30 ≈ 0,33 → sağa çarpık (üst çeyrek aralığı 20, alt çeyrek aralığı 10).

Örnek 3 – Moment katsayıları. Veri: 2, 3, 4, 7 (n = 4).

• x̄ = 16 / 4 = 4; sapmalar: −2, −1, 0, 3.
• m₂ = (4 + 1 + 0 + 9) / 4 = 14 / 4 = 3,5
• m₃ = (−8 − 1 + 0 + 27) / 4 = 18 / 4 = 4,5
• m₄ = (16 + 1 + 0 + 81) / 4 = 98 / 4 = 24,5
• γ₁ = 4,5 / 3,5^(3/2) = 4,5 / 6,548 ≈ 0,687 → sağa çarpık.
• β₂ = 24,5 / 3,5² = 24,5 / 12,25 = 2 → platikurtik (γ₂ = −1).

Örnek 4 – Basıklık yorumu. m₂ = 4, m₄ = 60 ise β₂ = 60 / 16 = 3,75; fazlalık basıklık 0,75 > 0 → leptokurtik (normalden sivri).