KPSS A İstatistik Dağılım Ölçüleri konu anlatımı

Aynı ortalamaya sahip iki veri seti birbirinden çok farklı olabilir: 48, 50, 52 ile 10, 50, 90'ın ortalaması 50'dir, ama ikinci set çok daha yaygındır. Dağılım (değişkenlik, yayılım) ölçüleri, gözlemlerin merkez etrafında ne kadar yayıldığını ölçer. Dağılım küçükse veri homojen, ortalama ise daha temsilîdir.

Ölçüler iki gruptadır:

• Mutlak dağılım ölçüleri: Ranj, çeyrekler arası genişlik, çeyrek sapma, ortalama mutlak sapma, varyans, standart sapma. Verinin birimiyle (varyans birimin karesiyle) ifade edilir.
• Göreli dağılım ölçüsü: Değişim katsayısı. Birimsizdir; birimleri ya da ortalamaları farklı serilerin karşılaştırılmasında kullanılır.

Konuma dayalı ölçüler

Ortalamaya dayalı ölçüler

• Kısa (hesap) formülleri:
  • Σ(xᵢ − x̄)² = Σxᵢ² − (Σxᵢ)² / n = Σxᵢ² − n·x̄²
  • σ² = Σx² / N − μ² ("karelerin ortalaması eksi ortalamanın karesi")
• Standart sapma: varyansın pozitif karekökü (σ ya da s). Verinin birimiyle ifade edilir; negatif olamaz. Tüm gözlemler eşitse 0'dır.
• Gruplanmış veri: σ² = Σfᵢ(mᵢ − x̄)² / n = Σfᵢmᵢ² / n − x̄²; örneklem için s² = [Σfᵢmᵢ² − n·x̄²] / (n − 1).

Doğrusal dönüşümün etkisi

yᵢ = a + b·xᵢ ise:

• ȳ = a + b·x̄
• s²ᵧ = b²·s²ₓ, sᵧ = |b|·sₓ
• Sabit eklemek/çıkarmak (a) dağılım ölçülerini değiştirmez; sabitle çarpmak (b) ranj, IQR ve standart sapmayı |b| katına, varyansı b² katına çıkarır.

Değişim katsayısı (DK)

• DK = (s / x̄)·100 (anakütle için σ / μ). Birimsizdir; yalnızca oran ölçeğinde ve pozitif ortalamalı verilerde anlamlıdır.
• Birimleri ya da ortalamaları farklı serilerden DK'sı küçük olan daha homojendir.
• Tüm gözlemlere sabit eklemek ortalamayı değiştirdiği hâlde standart sapmayı değiştirmediği için DK'yı değiştirir; sabitle çarpmak (b > 0) DK'yı değiştirmez.

Standart skor ve dağılım kuralları

Birleşik varyans

İki grubun (anakütle) varyansı birleştirilirken grup içi ve gruplar arası değişkenlik birlikte alınır: σ² = [n₁(σ₁² + d₁²) + n₂(σ₂² + d₂²)] / (n₁ + n₂), burada dᵢ = x̄ᵢ − x̄ (x̄: birleşik ortalama).

Örnek 1 – Varyans ve standart sapma. Veri: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8).

• x̄ = 40 / 8 = 5.
• Sapmaların kareleri: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → toplam 32. Kısa formülle: Σx² = 4 + 16·3 + 25·2 + 49 + 81 = 232; 232 − 8·25 = 32 ✓.
• Anakütle kabul edilirse σ² = 32 / 8 = 4, σ = 2.
• Örneklem kabul edilirse s² = 32 / 7 ≈ 4,571, s ≈ 2,138.

Örnek 2 – Değişim katsayısı ile karşılaştırma. Birinci grubun ortalaması 50, standart sapması 5; ikinci grubun ortalaması 200, standart sapması 12'dir.

• DK₁ = 5/50·100 = %10, DK₂ = 12/200·100 = %6.
• Standart sapması daha büyük olmasına rağmen ikinci grup göreli olarak daha homojendir.

Örnek 3 – Doğrusal dönüşüm. x̄ = 20, sₓ = 4 ve y = 3x − 7 ise ȳ = 3·20 − 7 = 53, sᵧ = 3·4 = 12, s²ᵧ = 9·16 = 144. Sabit −7 standart sapmayı etkilemez.

Örnek 4 – Chebyshev ve z skoru. Ortalama 100, standart sapma 10 olan bir dağılımda:

• 80 ile 120 arası ±2 standart sapmadır; gözlemlerin en az %75'i bu aralıktadır (1 − 1/4 = 0,75).
• 115 değerinin z skoru (115 − 100)/10 = 1,5'tir.