KPSS A İstatistik Temel Kavramlar ve Veri Türleri konu anlatımı

İstatistik; verilerin toplanması, düzenlenmesi, özetlenmesi, çözümlenmesi ve yorumlanması yoluyla belirsizlik altında karar vermeyi sağlayan yöntemler bütünüdür. İki ana kolu vardır:

• Betimsel (tanımlayıcı) istatistik: Eldeki veriyi tablo, grafik ve özet ölçülerle (ortalama, medyan, varyans, çarpıklık vb.) tanımlar. Elde olmayan birimler hakkında genelleme yapmaz.
• Çıkarımsal istatistik: Örneklemden elde edilen bilgiyle anakütle hakkında tahmin yapar, hipotez test eder. Olasılık kuramına dayanır; sonuçlar belirli bir hata payı ya da güven düzeyiyle ifade edilir.

Bu konu sonraki tüm ünitelerin dilini oluşturur: bir veride hangi ortalamanın, hangi dağılım ölçüsünün ya da hangi testin kullanılabileceği büyük ölçüde değişkenin türüne ve ölçme düzeyine bağlıdır.

Anakütle, örneklem, birim

Parametre ve istatistik

• Parametre: Anakütleyi betimleyen sabit (çoğunlukla bilinmeyen) sayısal değer.
• İstatistik: Örneklem verisinden hesaplanan değer. Örneklemden örnekleme değiştiği için bir rastlantı değişkenidir; parametreyi tahmin etmekte kullanıldığında tahmin edici adını alır.

Değişken ve veri türleri

• Kesikli: Sayılabilir (sonlu ya da sayılabilir sonsuz) değerler alır: hanedeki çocuk sayısı, bir sayfadaki hata sayısı, günlük kaza sayısı.
  • Sürekli: Bir aralıktaki her değeri alabilir: boy, ağırlık, süre, sıcaklık. Kayıtlar ölçme duyarlılığı nedeniyle yuvarlanmış olsa da değişken süreklidir.
• Kesikli değişkenin tam sayı olması şart değildir (ayakkabı numarası 38, 38,5, 39…). Belirleyici olan, iki değer arasında "boşluk" bulunmasıdır.

Ölçme düzeyleri (Stevens sınıflaması)

• Hiyerarşi: nominal < ordinal < aralık < oran. Üst düzeydeki veri alt düzeye dönüştürülebilir (gelir → düşük / orta / yüksek), bilgi kaybıyla; tersi yapılamaz.
• Ölçek düzeyi yükseldikçe uygulanabilen istatistiksel işlem sayısı artar.
• Aralık ölçeğinde farklar anlamlıdır, oranlar anlamlı değildir. İzin verilen dönüşüm y = a + b·x (b > 0) biçimindedir; örneğin °F = 32 + 1,8·°C. Bu dönüşüm sıfır noktasını kaydırır.
• Oran ölçeğinde izin verilen dönüşüm y = b·x (b > 0) biçimindedir (kg → g); sıfır korunur, oranlar değişmez.

Veri kaynakları ve veri yapıları

Toplam (Σ) sembolünün kuralları

• Σ c = n·c (c sabit)
• Σ c·xᵢ = c·Σxᵢ
• Σ(xᵢ ± yᵢ) = Σxᵢ ± Σyᵢ
• Σ(a + b·xᵢ) = n·a + b·Σxᵢ
• Genel olarak Σxᵢ² ≠ (Σxᵢ)² ve Σxᵢyᵢ ≠ (Σxᵢ)(Σyᵢ)
• Σ(xᵢ − x̄) = 0 (ortalamadan sapmaların toplamı daima sıfırdır)
• Σ(xᵢ − x̄)² = Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n = Σxᵢ² − n·x̄²
• Çift toplam: Σᵢ Σⱼ aᵢ·bⱼ = (Σᵢ aᵢ)·(Σⱼ bⱼ)

Kodlama (doğrusal dönüşüm)

Hesap kolaylığı için yᵢ = (xᵢ − a)/h dönüşümü yapılırsa xᵢ = a + h·yᵢ olur ve x̄ = a + h·ȳ bulunur. Yer değiştirme (a) ortalamayı kaydırır; ölçek değiştirme (h) ortalamayı h ile çarpar.

Örnek 1 – Ölçek belirleme. I. Araç plakasındaki il kodu, II. Maratonda bitiriş sırası, III. Doğum yılı, IV. Aylık kira bedeli.

Çözüm: I sınıflayıcıdır; 34 ile 06 yalnızca etikettir, ortalaması anlamsızdır. II sıralayıcıdır; birinci ile ikinci arasındaki süre farkı, ikinci ile üçüncü arasındakine eşit olmak zorunda değildir. III aralık ölçeğidir; takvimin başlangıcı keyfîdir, 2000 yılı 1000 yılının "iki katı" değildir. IV oran ölçeğidir; 0 TL gerçek yokluktur ve 20.000 TL, 10.000 TL'nin iki katıdır.

Örnek 2 – Toplam sembolü. x: 2, 4, 5, 9 için Σx, Σx², Σ(x − x̄)² ve Σ(3x + 2) değerlerini bulalım.

• Σx = 2 + 4 + 5 + 9 = 20, x̄ = 20/4 = 5
• Σx² = 4 + 16 + 25 + 81 = 126; (Σx)² = 400 (ikisinin farklı olduğuna dikkat)
• Σ(x − x̄)² = 126 − 400/4 = 126 − 100 = 26. Kontrol: sapmalar −3, −1, 0, 4 → kareler 9 + 1 + 0 + 16 = 26 ✓
• Σ(3x + 2) = 3·20 + 4·2 = 68 (sabit 2, n = 4 kez toplanır)

Örnek 3 – Kodlama. Bir veri setine y = (x − 100)/10 dönüşümü uygulanmış ve ȳ = −1,5 bulunmuştur. x = 100 + 10·y olduğundan x̄ = 100 + 10·(−1,5) = 85.

Örnek 4 – Parametre mi, istatistik mi? Bir fabrikanın ürettiği tüm ampullerin ortalama ömrü μ bir parametredir; sabittir ama bilinmez. Rastgele seçilen 50 ampulün ortalama ömrünün 1.180 saat bulunması bir istatistiktir (x̄); başka 50 ampul seçilseydi farklı bir değer çıkacaktı. x̄, μ'nün tahmin edicisidir.