KPSS A İstatistik Merkezi Eğilim Ölçüleri konu anlatımı

Merkezi eğilim (yer) ölçüleri, bir veri setini tek bir "tipik" değerle özetler. İki gruba ayrılır:

• Hesaplanan (analitik) ortalamalar: Aritmetik, tartılı (ağırlıklı), geometrik, harmonik ve kareli ortalama. Tüm gözlemler hesaba katılır; bu yüzden uç değerlerden etkilenirler.
• Konum (yer) ortalamaları: Medyan, mod, kartiller (çeyrekler) ve yüzdelikler. Gözlemlerin sıradaki yerine ya da sıklığına bakılır; uç değerlere karşı dayanıklıdırlar.

Hangi ölçünün kullanılacağı ölçme düzeyine ve dağılımın şekline bağlıdır: nominal veride yalnızca mod, ordinal veride medyan, aralık ve oran ölçeğinde aritmetik ortalama anlamlıdır. Geometrik ve harmonik ortalama pozitif değerli oran ölçeği verisi gerektirir.

Aritmetik ortalama

• Basit (ham veri): x̄ = Σxᵢ / n; anakütlede μ = Σxᵢ / N.
• Tartılı (ağırlıklı): x̄ = Σwᵢxᵢ / Σwᵢ. Frekanslı veride wᵢ = fᵢ alınır: x̄ = Σfᵢxᵢ / n.
• Gruplanmış veri: x̄ = Σfᵢmᵢ / n (mᵢ: sınıf orta noktası).
• Birleşik ortalama: n₁ birimlik grubun ortalaması x̄₁, n₂ birimlik grubun ortalaması x̄₂ ise x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) / (n₁ + n₂).
• Özellikler:
  • Σ(xᵢ − x̄) = 0.
  • Σ(xᵢ − a)² toplamı a = x̄ için en küçüktür (en küçük kareler özelliği).
  • Doğrusal dönüşüm: yᵢ = a + b·xᵢ ise ȳ = a + b·x̄. Medyan, mod ve kartiller de aynı biçimde dönüşür.
  • Uç değerlerden en çok etkilenen merkezi eğilim ölçüsüdür.

Geometrik ortalama (G)

• G = (x₁·x₂·…·xₙ)^(1/n), yalnızca pozitif değerler için. Logaritmik biçim: log G = Σlog xᵢ / n.
• Oranların, büyüme hızlarının, faiz ve fiyat nispilerinin ortalamasında kullanılır. Yıllık artış oranları r₁, r₂, …, rₙ ise ortalama büyüme hızı = [(1 + r₁)(1 + r₂)…(1 + rₙ)]^(1/n) − 1.

Harmonik ortalama (H)

• H = n / Σ(1/xᵢ); tartılı biçim: H = Σwᵢ / Σ(wᵢ/xᵢ).
• Paydası sabit tutulan oranlarda kullanılır: aynı yol farklı hızlarla gidiliyorsa ortalama hız, aynı para ile farklı fiyatlardan alım yapılıyorsa ortalama birim fiyat harmonik ortalamadır.
• İki sayı için: H = 2ab / (a + b) ve A·H = G² (A: aritmetik, G: geometrik ortalama).

Kareli ortalama (K)

• K = √(Σxᵢ² / n). Pozitif değerler için sıralama: H ≤ G ≤ A ≤ K; eşitlik yalnızca tüm değerler eşitse sağlanır.

Medyan (ortanca)

• Ham veri küçükten büyüğe sıralanır. n tek ise (n + 1)/2'nci gözlem; n çift ise n/2'nci ve (n/2 + 1)'inci gözlemlerin ortalamasıdır.
• Gruplanmış veri: Medyan = L + [(n/2 − F) / f]·h
  • L: medyan sınıfının alt gerçek sınırı, F: medyan sınıfından önceki kümülatif frekans, f: medyan sınıfının frekansı, h: sınıf aralığı. Medyan sınıfı, kümülatif frekansı ilk kez n/2'yi aşan (ya da eşitleyen) sınıftır.
• Σ|xᵢ − a| toplamı a = medyan için en küçüktür.
• Kartiller aynı mantıkla bulunur: Q1 için n/4, Q3 için 3n/4 kullanılır.

Mod (tepe değer)

• En sık gözlenen değerdir; birden çok olabilir (iki modlu, çok modlu) ya da hiç olmayabilir.
• Gruplanmış veri (modal sınıf: frekansı en büyük sınıf): Mod = L + [d₁ / (d₁ + d₂)]·h
  • d₁ = modal sınıf frekansı − önceki sınıf frekansı; d₂ = modal sınıf frekansı − sonraki sınıf frekansı.
• Nominal veride kullanılabilen tek merkezi eğilim ölçüsüdür.

Ortalamaların dağılım şekliyle ilişkisi

• Simetrik ve tek modlu dağılımda: ortalama = medyan = mod.
• Sağa çarpık dağılımda: mod < medyan < ortalama; sola çarpıkta tersi.
• Pearson'un ampirik ilişkisi: (hafif çarpık dağılımlar için): Ortalama − Mod ≈ 3·(Ortalama − Medyan), yani Mod ≈ 3·Medyan − 2·Ortalama.

Örnek 1 – Üç ortalamanın karşılaştırılması. Veri: 2, 4, 8.

• A = (2 + 4 + 8)/3 = 14/3 ≈ 4,67
• G = (2·4·8)^(1/3) = 64^(1/3) = 4
• H = 3 / (1/2 + 1/4 + 1/8) = 3 / (7/8) = 24/7 ≈ 3,43
• Sıralama H < G < A ✓.

Örnek 2 – Ortalama hız. Bir araç A şehrinden B şehrine 60 km/sa, dönüşte aynı yolu 40 km/sa hızla gidiyor. Yollar eşit olduğundan harmonik ortalama kullanılır: H = 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (5/120) = 48 km/sa. (Aritmetik ortalama olan 50 km/sa yanlıştır: 120 km'lik yol için toplam süre 1 + 1,5 = 2,5 saat, ortalama hız 120/2,5 = 48 ✓.)

Örnek 3 – Gruplanmış veri. 40 gözlem:

• Ortalama: Σf·m = 1.420 → x̄ = 1.420 / 40 = 35,5.
• Medyan: n/2 = 20; kümülatif frekans ilk kez 20'yi 30–40 sınıfında aşar. L = 30, F = 13, f = 12, h = 10 → Medyan = 30 + (7/12)·10 ≈ 35,83.
• Mod: modal sınıf 30–40; d₁ = 12 − 8 = 4, d₂ = 12 − 10 = 2 → Mod = 30 + (4/6)·10 ≈ 36,67.

Örnek 4 – Birleşik ortalama ve ortalama büyüme.

• 30 kişilik grubun ortalaması 70, 20 kişilik grubun ortalaması 80 ise birleşik ortalama (30·70 + 20·80)/50 = 3.700/50 = 74 (basit ortalama 75 değil).
• Satışlar birinci yıl %25, ikinci yıl %80 artmışsa büyüme çarpanları 1,25 ve 1,80'dir. G = √(1,25·1,80) = √2,25 = 1,5 → ortalama yıllık artış %50. (Aritmetik ortalama %52,5 yanlıştır: 100 → 125 → 225 ile 100 → 150 → 225 aynı sonucu verir ✓.)