AYT Çember ve Daire konu anlatımı

Çember ve daire, AYT Geometri'nin en çok soru üreten konularından biridir. TYT'de merkez açı ve çevre açı ile yetinilirken AYT'de teğet-kiriş açısı, çemberde iç ve dış açılar, kuvvet (güç) bağıntıları, iki çemberin birbirine göre durumları ve ortak teğetler ile daire dilimi ve daire parçası alanları birlikte sorulur.

Çember sorularında en güçlü araç, her açıyı gördüğü yay cinsinden yazmaktır. Uzunluk sorularında ise iki temel fikir öne çıkar: merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir ve bir noktanın çembere göre kuvveti, o noktadan geçen bütün kesenler için aynıdır.

Çember yalnızca eğri çizgidir; daire ise çember ve iç bölgesidir. Uzunluk ve çevre soruları çembere, alan soruları daireye aittir.

1Çemberde açılar: her açıyı yayla yaz

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

Yay ölçüleri derece cinsindendir. Açının köşesi nerede (merkezde, çemberin üzerinde, içinde ya da dışında) ona göre kural değişir.

Çemberde açılar

Merkez açı= gördüğü yay

Çevre açı= gördüğü yay / 2aynı yayı gören çevre açılar eşittir; çapı gören çevre açı 90°

Teğet-kiriş açısı= gördüğü yay / 2aynı yayı gören çevre açıya eşittir

İç açı= (iki yayın toplamı) / 2iki kiriş çemberin içinde kesişirse

Dış açı= (uzak yay − yakın yay) / 2iki kesen, bir kesen ve bir teğet ya da iki teğet çemberin dışında kesişirse

İki teğet arası açı αküçük yay = 180° − αdış noktadan çizilen iki teğet

Kirişler dörtgenikarşılıklı açılar toplamı 180°bir dış açı, karşı iç açıya eşittir

P'den çizilen iki kesen: m(BD) = 110°, m(AC) = 30°

Dış açı0 / 3 adım

Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki kesen çemberi sırasıyla A, B ve C, D noktalarında kesiyor (P'ye yakın noktalar A ve C). m(BD) = 110° ve m(AC) = 30° ise m(APC) kaçtır?

2Kirişler dörtgeni ve iç açı

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

Köşegenler çemberin içinde kesiştiğinde iç açı kuralı, çevre açılardan bulunan yaylarla birleşir.

ABCD kirişler dörtgeni: m(BAC) = 35°, m(ABD) = 45°

Kirişler dörtgeni ve iç açı0 / 3 adım

ABCD kirişler dörtgeninde köşegenler E'de kesişiyor. m(BAC) = 35°, m(CAD) = 40° ve m(ABD) = 45° ise m(AEB) kaçtır?

3Uzunluk bağıntıları ve kuvvet

Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

Uzunluk bağıntıları

Merkezden kirişe dikme(kiriş/2)² + d² = r²dikme kirişi ortalar

Teğet parçalarıdış noktadan çizilen iki teğet parçası eşittirteğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamları eşittir

Kuvvet (içte)|EA| · |EB| = |EC| · |ED|iki kiriş E'de kesişirse

Kuvvet (dışta)|PA| · |PB| = |PC| · |PD| = |PT|²dış P noktasından kesen ve teğet

Merkeze uzaklıkla|PT|² = d² − r²d, P'nin merkeze uzaklığı

Teğet ve kesen: |PT| = 6, |PA| = 4

Kuvvet0 / 2 adım

P'den çizilen teğetin uzunluğu |PT| = 6'dır. P'den geçen bir kesen çemberi P'ye yakın A ve uzak B noktalarında kesiyor, |PA| = 4. |AB| kaçtır?

4İki çemberin durumları ve ortak teğetler

Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.

Yarıçaplar r₁ ≥ r₂, merkezler arası uzaklık d olsun. Durumu d'yi yarıçapların toplamı ve farkıyla karşılaştırarak bulursun:

Durum	Koşul	Ortak teğet sayısı
Dıştan ayrık	d > r₁ + r₂	4
Dıştan teğet	d = r₁ + r₂	3
İki noktada kesişen	r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂	2
İçten teğet	d = r₁ − r₂	1
İç içe	d < r₁ − r₂	0

Ortak teğetler ve ortak kiriş

Ortak dış teğet parçası√d² − (r₁ − r₂)²

Ortak iç teğet parçası√d² − (r₁ + r₂)²

Dıştan teğet çemberlerdeortak dış teğet = 2√r₁ · r₂

Ortak kirişkesişen iki çemberde merkezleri birleştiren doğruya diktirbu doğru tarafından ortalanır

Dıştan teğet çemberler: r₁ = 9, r₂ = 4, d = 13

İki çember ve ortak teğet0 / 3 adım

Yarıçapları 9 ve 4, merkezleri arasındaki uzaklık 13 olan iki çemberin durumu nedir ve ortak dış teğet parçası kaçtır?

Şekle bak, çözBir şık seç

Merkezleri arasındaki uzaklık 10 birim olan iki çemberden birinin yarıçapı 7 birim, diğerininki x birimdir. Bu iki çember iki farklı noktada kesişmektedir.

Buna göre x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

5Daire, dilim ve daire parçası

Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

Daire

Çevre ve alan2πr ve πr²

Yay uzunluğu2πr · α/360°α merkez açı

Dilim alanıπr² · α/360° = yay uzunluğu × r2

Daire parçasıπr² · α/360° − (12) r² sin αdilim − üçgen

Halkaπ(R² − r²)büyük çemberin küçük çembere teğet kirişinin yarısı k ise R² − r² = k²

Yarıçap 6, merkez açı 120°

Daire dilimi ve parçası0 / 4 adım

Yarıçapı 6 olan dairede merkez açısı 120° olan dilimin alanını, yay uzunluğunu ve bu yay ile kirişin sınırladığı daire parçasının alanını bulunuz.

6Sık yapılan hatalar

Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

Çemberin klasik tuzakları

İç açı ile dış açıyı karıştırmak: Kesişim çemberin içindeyse yaylar toplanır, dışındaysa çıkarılır; her ikisinde de 2'ye bölünür.
Kuvvette parçaları yanlış çarpmak: Dış noktada |PA| · |PB| çarpımında |PB|, P'den uzak noktaya kadar olan tüm uzunluktur; |AB| değildir.
Teğet-kiriş açısında yanlış yayı almak: Açı, kendi iç bölgesinde kalan yayın yarısıdır.
Ortak iç ve dış teğet formüllerini karıştırmak: Dış teğette farkın, iç teğette toplamın karesi çıkarılır.
Daire parçasında üçgeni unutmak: Parça alanı dilimden üçgen çıkarılarak bulunur.
Paralel kirişlerde tek durumu düşünmek: İki kiriş merkezin aynı ya da farklı tarafında olabilir; soru metni hangisini söylüyorsa ona göre uzaklıklar çıkarılır ya da toplanır.

7ÖSYM'de nasıl soruluyor

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

AYT'de çember ve daireden genellikle 2 soru gelir. Sık görülen kalıplar:

Teğet ile kirişin birlikte verildiği, açıların yaylar cinsinden yazılmasını gerektiren sorular.
Dış noktadan kesen ve teğet ile kuvvet bağıntısı; çoğunlukla merkeze uzaklıkla birleştirilmiş hâlde.
İki çemberin durumu, ortak teğet uzunluğu, ortak kiriş; birbirine ve bir doğruya teğet çemberler.
Kare ya da dik üçgen içindeki çeyrek daire, yarım daire ve dilimlerden oluşan taralı alanlar.

Şıklarda π'li ve köklü ifadeler birlikte yer alır; bu yüzden sonucu sayısal olarak yaklaşık hesaplayıp pozitif ve makul olduğunu kontrol etmek iyi bir alışkanlıktır. Bunu şu soruda dene:

Şekle bak, çözBir şık seç

Yarıçapı 6 birim olan bir çemberde uzunluğu 6 birim olan bir kiriş çiziliyor.

Buna göre bu kiriş ile küçük yayı arasında kalan daire parçasının alanı kaç birimkaredir?

8Kısa tekrar

Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

Kuralı tamamla0 / 13

Merkez açı = ; çevre açı ve teğet-kiriş açısı = . İç açı = ; dış açı = . Kirişler dörtgeni: karşı açılar ; teğetler dörtgeni: . Kuvvet: |PA| · |PB| = = . Ortak teğetler: dış , iç . Dilim , parça = dilim − , halka .

Anlatımı bitirdin, harikasın! Şimdi kartlar ve testlerle pekiştirelim; yanlışlarını ben takip ederim.