puanlabs
Ücretsiz başla

AYT Üçgenler (Açı, Alan, Benzerlik) konu anlatımı

Geometri · sınavda ortalama 1,5 soru çıkıyor

Çizim masası

Önce şekli çiz, verilenleri üstüne yaz, sonra ilişkiyi kur.

8 bölüm · ~17 dk · 18 etkileşim

Hadi başlayalım! Bu konu 8 bölüm, yaklaşık 17 dakika. Arada sana küçük sorular soracağım.

AYT Geometri'de üçgenler, soruların neredeyse yarısının temelini oluşturur. TYT'de öğrendiğin açı kuralları, Pisagor ve temel benzerlik burada yalnızca başlangıçtır. AYT soruları genellikle birden fazla kuralı aynı şekilde kullandırır: kenarortay ile ağırlık merkezi, açıortay ile alan oranı, iç teğet çember ile dik üçgen, paralel doğru ile benzerlik bir arada karşına çıkar.

Bu konuda başarının anahtarı, üçgenin hangi "özel elemanının" (kenarortay, açıortay, yükseklik, iç teğet çember, dış teğet çember) verildiğini hemen fark edip o elemana ait formülü seçmektir. Aşağıdaki formüller ezberlenmeli; ama daha önemlisi her birinin ne zaman kullanılacağını bilmelisin.

1Hızlı hatırlatma: açıortay açıları ve dik üçgen

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

Açı kuralları ve Öklid bağıntıları
İç açıortaylar I'da kesişirsem(BIC) = 90° + mA2I aynı zamanda iç teğet çemberin merkezidir
B ve C'deki dış açıortaylar E'de kesişirsem(BEC) = 90° − mA2
B'de iç, C'de dış açıortay E'de kesişirsem(BEC) = mA2
Öklid (m(A) = 90°, [AH] ⊥ [BC])|AB|² = |BH| · |BC|, |AC|² = |HC| · |BC|, |AH|² = |BH| · |HC|
Alan bağıntısı|AB| · |AC| = |BC| · |AH|
Hipotenüse ait kenarortayhipotenüsün yarısı
Şekle bak, çözBir şık seç

ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki dış açıların açıortayları E noktasında kesişiyor.

m(BEC) = 52° olduğuna göre m(BAC) kaç derecedir?

2Kenarortay ve ağırlık merkezi

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| olsun; A'dan çizilen kenarortay Va.

Kenarortay
Kenarortay teoremi4Va² = 2b² + 2c² − a²
Ağırlık merkezi Gkenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 böler|AG| = 2Va/3
Üç kenarortayüçgeni alanları eşit 6 küçük üçgene ayırır
B ve C'den çizilen kenarortaylar dikseb² + c² = 5a²
5744VaBCAM

ABC üçgeni: |AB| = 5, |AC| = 7, |BC| = 8; M, [BC]'nin orta noktası

Kenarortay uzunluğu0 / 4 adım

ABC üçgeninde |AB| = 5, |AC| = 7, |BC| = 8'dir. A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu kaçtır?

    3Açıortay teoremleri

    Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

    Açıortay
    İç açıortay teoremi|BD| / |DC| = |AB| / |AC|[AD] iç açıortay
    Dış açıortay teoremi|EB| / |EC| = |AB| / |AC|A'daki dış açıortay BC doğrusunu E'de keser; E, kısa kenar tarafında uzantıdadır
    İç açıortay uzunluğu|AD|² = |AB| · |AC| − |BD| · |DC|
    αα69?BCAD

    ABC üçgeni: |AB| = 6, |AC| = 9, |BC| = 10; [AD] iç açıortay

    Açıortay teoremi ve uzunluğu0 / 3 adım

    ABC üçgeninde |AB| = 6, |AC| = 9, |BC| = 10'dur. A'dan çizilen iç açıortay BC'yi D'de kesiyor. |AD| kaçtır?

      4Alan, iç ve dış teğet çember

      Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.

      u = (a + b + c)/2 yarı çevre olsun.

      Alan ve teğet çemberler
      TemelA = (12) · a · ha = (12) · b · c · sin A
      HeronA = √u(u − a)(u − b)(u − c)
      İç teğet çemberA = r · udik üçgende r = (b + c − a)/2 (a hipotenüs)
      Çevrel çemberA = abc / (4R)
      Aynı yükseklikli üçgenleralanlar oranı = tabanlar oranı
      Teğet uzunlukları|BD| = u − b, |DC| = u − c; A'dan u − aiç teğet çember BC'ye D'de değer
      Dış teğet çemberra = A / (u − a)dik üçgende hipotenüse dıştan teğet çemberin yarıçapı u'ya eşittir
      131568rBCAID

      13-14-15 üçgeni ve iç teğet çemberi

      Heron, iç ve çevrel çember0 / 5 adım

      Kenar uzunlukları 13, 14 ve 15 olan üçgenin alanını, iç teğet ve çevrel çember yarıçaplarını bulunuz.

        5Benzerlik, Menelaus ve Ceva

        Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

        Benzerlik ve bölme oranları
        Paralel kesenDE ∥ BC ise |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC| = kalanlar oranı k²
        Yamuğa dönüşen şekilköşegenlerin ayırdığı karşılıklı iki yan üçgenin alanları eşitbu alan, üst ve alt üçgen alanlarının geometrik ortalaması
        Menelaus(AD/DB) · (BE/EC) · (CF/FA) = 1bir doğru kenarları ya da uzantılarını D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ CA'da keserse
        Cevaaynı çarpım yine 1[AD], [BE], [CF] tek noktada kesişiyorsa
        Benzerlik ve alan oranı0 / 4 adım

        ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve DE ∥ BC'dir. |AD| : |DB| = 2 : 3 ve A(ABC) = 75 birimkare ise DBCE dörtgeninin alanı kaçtır?

          BCADEP

          |AD| : |DB| = 1 : 2, E orta nokta, [BE] ∩ [CD] = P

          Menelaus ve ağırlık yöntemi0 / 3 adım

          ABC üçgeninde D ∈ [AB] ve |AD| : |DB| = 1 : 2; E, [AC]'nin orta noktasıdır. [BE] ile [CD], P'de kesişiyor. |BP| / |PE| kaçtır?

            6Sık yapılan hatalar

            Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

            7ÖSYM'de nasıl soruluyor

            Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

            AYT'de üçgen soruları genellikle iki ya da üç kavramı birleştirir. Sık görülen kalıplar şunlardır:

            • Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik ile Öklid bağıntılarını ikinci dereceden bir denkleme dönüştüren sorular.
            • Açıortay teoremiyle alan oranı, kenarortay ile ağırlık merkezi uzunluğu gibi ikili kombinasyonlar.
            • İç teğet çemberin değme noktaları ile yüksekliğin ayağı arasındaki uzaklık gibi koordinat ya da teğet uzunluğu gerektiren sorular.
            • Paralel doğrularla oluşan yamuk ve üçgenlerde alanlar arasındaki geometrik ortalama ilişkisi.
            • Menelaus ve Ceva ile bölme oranı bulma.

            Şıklarda çoğunlukla "ara sonuçlar" bulunur: kenarortayın tamamı yerine |AG|, alan yerine alan oranı, teğet uzunluğu yerine u − a. Son adımda soru kökünü yeniden okumak bu tuzakları önler.

            Şekle bak, çözBir şık seç

            ABC dik üçgeninde m(BAC) = 90° ve |BC| = 18 birimdir. G, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

            Buna göre |AG| kaç birimdir?

            8Kısa tekrar

            Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

            Formülü tamamla0 / 10

            4Va² = ; G kenarortayı böler. İç açıortay: |BD|/|DC| = ; uzunluk: n² = . A = r · u = = . Teğet uzunlukları ; ra = . DE ∥ BC ise kenarlar k, alanlar oranında. Menelaus ve Ceva'da oranlar çarpımı 'dir.