Çizim masası
Önce şekli çiz, verilenleri üstüne yaz, sonra ilişkiyi kur.
8 bölüm · ~17 dk · 17 etkileşim
Çemberin analitik incelenmesi, çemberi koordinat düzleminde bir denklemle ifade edip merkezini, yarıçapını ve doğrularla ya da başka çemberlerle ilişkisini cebirsel olarak incelemektir. AYT Geometri testinde bu konudan genellikle 1 soru gelir; soru çoğu zaman denklemden merkez–yarıçap bulma, teğetlik ya da kiriş uzunluğu üzerine kuruludur.
Konunun temeli tek bir fikre dayanır: Çember, sabit bir M noktasına (merkez) uzaklığı r olan noktaların kümesidir. İki nokta arası uzaklık formülü bu tanıma uygulanınca çember denklemi ortaya çıkar. Çember ile doğrunun ilişkisi ise merkezin doğruya uzaklığı ile yarıçapın karşılaştırılmasıyla belirlenir.
1Çember denklemi ve eksenlere teğetlik
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
Denklemin bir çember belirtmesi için x² ile y²'nin katsayıları eşit olmalı ve xy terimi bulunmamalıdır. Katsayılar 1 değilse (örneğin 2x² + 2y² + ...), önce denklemin tamamı bu katsayıya bölünür.
x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulalım.
Çember belirtme koşulunu bir parametreyle dene:
x² + y² − 2x + 6y + k = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre, k'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
2Nokta ve çember: içeride mi, dışarıda mı?
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
A(x₀, y₀) noktasının koordinatları denklemin sol tarafına (x − a)² + (y − b)² − r² biçiminde yazılır.
A(7, 1) noktasından teğet: M(1, −2), r = 3
A(7, 1) noktasından x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir?
3Doğru ve çember: kesen, teğet, ayrık
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²) formülüyle bulunur. Çember sorularında P yerine merkez yazılır ve d yarıçapla karşılaştırılır.
Aynı sonuç, doğru denklemini çember denkleminde yerine yazıp elde edilen ikinci derece denklemin diskriminantına (Δ) bakarak da bulunur.
Merkezi M(2, −1) olan, 3x − 4y + 5 = 0 doğrusuna teğet çember
Merkezi M(2, −1) olan ve 3x − 4y + 5 = 0 doğrusuna teğet olan çemberin denklemi nedir?
y = x + k doğrusunun x² + y² = 8 çemberine teğet olması için k kaç olmalıdır?
4Kiriş uzunluğu
Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.
Doğru çemberi kesiyorsa merkez, kirişin orta noktası ve kirişin bir ucu bir dik üçgen oluşturur: yarım kiriş, d ve r.
(x − 1)² + (y − 2)² = 25 ve 3x + 4y + 4 = 0
(x − 1)² + (y − 2)² = 25 çemberinin 3x + 4y + 4 = 0 doğrusu üzerinde ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir?
5İki çemberin durumu
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.
Merkezler arası uzaklık |MN|, yarıçaplar r₁ ≥ r₂ olsun:
| Koşul | Durum |
|---|---|
| |MN| > r₁ + r₂ | ayrık, dışta |
| |MN| = r₁ + r₂ | dıştan teğet |
| r₁ − r₂ < |MN| < r₁ + r₂ | iki noktada kesişir |
| |MN| = r₁ − r₂ | içten teğet |
| |MN| < r₁ − r₂ | biri diğerinin içinde |
x² + y² = 9 ve (x − 8)² + (y − 6)² = 49
x² + y² = 9 ile (x − 8)² + (y − 6)² = 49 çemberlerinin durumunu belirleyelim.
6Sık yapılan hatalar
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
7ÖSYM'de nasıl soruluyor
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
ÖSYM bu konuyu çoğunlukla kısa ama birkaç kuralı birleştiren sorularla ölçer:
- Genel denklemi verilmiş çemberin merkezini, yarıçapını ya da çevre ve alanını bulma; bir parametrenin çember belirtme koşuluyla sınırlanması.
- Merkezi bir doğru üzerinde olan ve eksenlere ya da bir doğruya teğet olan çemberin denklemini bulma.
- Bir doğrunun çembere teğet olması ya da çemberi kesmesi için parametre koşulu; kiriş uzunluğu ve kiriş orta noktası.
- Dış noktadan çizilen teğet uzunluğu; çember üzerindeki bir noktaya en yakın ya da en uzak uzaklık (|AM| − r ve |AM| + r).
- Çemberin eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgen ya da dörtgen alanı.
Şekil verilmediğinde kısa bir taslak çizip merkezi, yarıçapı ve doğruyu yerleştirmek hesap hatalarını büyük ölçüde önler.
x² + y² + 4x − 10y + 20 = 0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
8Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
(x − a)² + (y − b)² = r²; genel denklemde M = , r = . Çember koşulu: . x eksenine teğet r = ; y eksenine teğet r = . Doğru–çember: d < r , d = r , d > r . Kiriş = ; teğet uzunluğu t² = . İki çember: |MN| = r₁ + r₂ , |MN| = |r₁ − r₂| .