TYT Dik ve Özel Üçgenler konu anlatımı

Dik ve özel üçgenler, TYT Geometri testinin neredeyse her sorusunda bir ara adım olarak karşına çıkar. Bir yamuğun yüksekliğini, bir eşkenar dörtgenin kenarını ya da bir çemberdeki kirişi bulurken çoğu zaman yaptığın şey, şeklin içinde gizlenmiş bir dik üçgeni fark edip Pisagor teoremini ya da özel üçgen oranlarını uygulamaktır.

Konunun dört temel taşı vardır: Pisagor teoremi, sık kullanılan Pisagor üçlüleri, açıları belli olan özel dik üçgenler (30°-60°-90° ve 45°-45°-90°) ve hipotenüse çizilen yükseklikle ortaya çıkan Öklid bağıntıları. Bu dört aracı hızlı kullanabilen öğrenci, uzun hesaplara girmeden birkaç satırda sonuca ulaşır.

ABC üçgeninde m(A) = 90° ise [BC] hipotenüstür ve |BC|² = |AB|² + |AC|² olur. Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Teoremin tersi de doğrudur: Bir üçgende en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen diktir.

Bir kenar ikisi arasında bilinen bir oranla veriliyorsa önce üçlüyü tanımaya çalış; hesap çoğu zaman gereksiz kalır.

Açıları belli olan üçgenlerde kenarlar sabit bir oranla büyür. Oranı bilen, Pisagor'a bile gerek duymaz.

Kısa ezber: 30°'nin karşısı hipotenüsün yarısıdır.

A'da dik olan ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC] olsun (H ∈ [BC]). |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h diyelim.

Harflerle yazarsak:

• Yükseklik bağıntısı: |AH|² = |BH| · |HC|.
• Kenar bağıntıları: |AB|² = |BH| · |BC| ve |AC|² = |CH| · |BC|. Her dik kenarın karesi, kendi izdüşümü ile hipotenüsün çarpımıdır.
• Alan bağıntısı: |AB| · |AC| = |BC| · |AH|. İki farklı yoldan yazılan alanın eşitliğidir.
• Hipotenüse ait kenarortay: Hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır; bu kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

Genel strateji: Dik açısı olmayan bir üçgende 30°, 45°, 60° gibi açılar verilmişse bir köşeden karşı kenara dikme indir. Böylece üçgen iki özel dik üçgene ayrılır ve her parçada oranları kullanırsın.

Aynı stratejiyi bu kez sen uygula:

ÖSYM bu konuyu tek başına sormaktan çok, başka şekillerin içine yerleştirerek sorar. Tipik soru yapıları şunlardır:

• Dik açısı olmayan bir üçgende 30°, 45°, 60° ya da 120° gibi açılar verip bir kenarı sordurmak. Çözümün anahtarı doğru köşeden dikme indirmektir.
• Hipotenüse yükseklik çizilmiş bir dik üçgende iki uzunluk verip üçüncüsünü sordurmak (Öklid).
• Ortak kenarlı iki dik üçgenle kurulan zincirleme Pisagor soruları; örneğin bir kenar üzerindeki D noktasına çizilen [AD] ile oluşan iki dik üçgen.
• Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve yamuk sorularında yükseklik ya da köşegen bulmak için ara adım.

Şıklarda çoğunlukla a, a√2, a√3 ve 2a gibi oranların karıştırılmasıyla elde edilen değerler bulunur. Bulduğun kenarları bir kez daha Pisagor ile kontrol etmek, bu tuzakları eler.