TYT Üçgende Alan ve Benzerlik konu anlatımı

Üçgende alan ve benzerlik, TYT Geometri testinin en verimli konularından biridir. Alan soruları çoğu zaman uzun hesaplar gerektirmez; doğru tabanı ve ona ait yüksekliği seçmek ya da iki üçgenin ortak yüksekliğini fark etmek yeterlidir. Benzerlik ise paralel doğruların ve eşit açıların olduğu hemen her şekilde kullanılır; bir kenar oranı bulunduğunda çevre ve alan oranları da kendiliğinden gelir.

Bu konuda iki ana fikir vardır: Birincisi, alan = taban × yükseklik / 2 formülünün farklı biçimleri ve alan oranlarıdır. İkincisi, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların aynı oranda (benzerlik oranı k) büyüdüğü, alanın ise k² oranında büyüdüğüdür.

1Üçgenin alanı

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

Yükseklik, tabanın karşısındaki köşeden tabana (gerekirse tabanın uzantısına) indirilen dikmedir.

Formül kutusu

Temel formülA(ABC) = taban · o tabana ait yükseklik / 2

Dik üçgenA = dik kenarların çarpımı / 2

Eşkenar üçgenA = a²√3 / 4kenarı a

İki kenar ve aradaki açıA(ABC) = (12) · |AB| · |AC| · sin A

Sık kullanılan sinüslersin 30° = sin 150° = 12, sin 45° = sin 135° = √22sin 60° = sin 120° = √3/2, sin 90° = 1

Kenar-yükseklik ilişkisikenar · o kenara ait yükseklik = 2 · alanuzun kenara ait yükseklik kısadır; kenarlar ile yükseklikler ters orantılıdır

ABC üçgeni: |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm, m(BAC) = 30°

Örnek 1: Sinüslü alan0 / 3 adım

ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve m(BAC) = 30°'dir. Alan kaç cm²'dir?

2Alan oranları

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

Formül kutusu

Ortak yükseklikA(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC|tabanları aynı doğru üzerinde, tepe noktası ortak iki üçgen; D ∈ [BC]

KenarortayA(ABD) = A(ADC)D, [BC]'nin orta noktası ise alanı ikiye böler

Ortak açıA(ADE) / A(ABC) = (|AD| · |AE|) / (|AB| · |AC|)D ∈ [AB], E ∈ [AC]; sinüslü alan formülünden gelir, A ortak olduğundan sin A sadeleşir

Örnek 2: Ortak yükseklik0 / 3 adım

ABC üçgeninde D ∈ [BC], |BD| = 4 cm, |DC| = 6 cm ve A(ABC) = 40 cm² ise A(ABD) kaç cm²'dir?

3Benzerlik kriterleri ve özellikleri

Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir ve ABC ∼ DEF biçiminde yazılır. Harflerin sırası eşleşen köşeleri gösterir. Benzerliği göstermek için şunlardan biri yeterlidir:

Konu kartları1 / 3

Benzer üçgenlerin özellikleri (benzerlik oranı k)

Büyüklük	Oran
Karşılıklı kenarlar, çevreler, yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar	k
Alanlar	k²
Açılar	Eşittir; benzerlik oranı açıları değiştirmez

4Temel orantı ve sık benzerlik şekilleri

Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

Formül kutusu

Temel orantı (Tales)|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC|D ∈ [AB], E ∈ [AC], [DE] ∥ [BC] ise ADE ∼ ABC; ayrıca |AD| / |DB| = |AE| / |EC|

Kelebek (papyon)|AB| / |CD| = |AE| / |EC| = |BE| / |ED|[AB] ∥ [DC], [AC] ile [BD] E'de kesişiyorsa EAB ∼ ECD

Ters (çapraz) benzerlik|AD| · |AB| = |AE| · |AC|D ∈ [AB], E ∈ [AC], m(ADE) = m(ACB) ise ADE ∼ ACB; [DE], [BC]'ye paralel değildir

Açıyı paylaşan iç üçgen|AB|² = |BD| · |BC|D ∈ [BC], m(BAD) = m(BCA) ise ABD ∼ CBA

ABC üçgeni: [DE] ∥ [BC], |AD| = 4, |DB| = 6, |BC| = 15

Örnek 3: Temel orantı0 / 3 adım

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve [DE] ∥ [BC]'dir. |AD| = 4, |DB| = 6 ve |BC| = 15 cm ise |DE| kaç cm'dir?

Örnek 4: Alan oranı k²0 / 3 adım

Aynı şekilde |AD| / |DB| = 2 ve A(ADE) = 20 cm² ise DBCE yamuğunun alanı kaç cm²'dir?

[AB] ∥ [DC]; köşegenler E'de kesişiyor: |AB| = 6, |DC| = 9, |AE| = 4

Örnek 5: Kelebek benzerliği0 / 3 adım

[AB] ∥ [DC] olan bir dörtgende köşegenler E'de kesişiyor. |AB| = 6, |DC| = 9 ve |AE| = 4 cm ise |EC| kaç cm'dir?

5Sık yapılan hatalar

Arada küçük sorular var, atlamadan çöz.

Oran tuzakları

Yanlış yüksekliği kullanmak: Bir kenarla çarpılan yükseklik, o kenara ait yükseklik olmalıdır. Geniş açılı üçgende yükseklik üçgenin dışına düşebilir.
Temel orantıda parçayı bütünle karıştırmak: |DE| / |BC| oranı |AD| / |AB|'ye eşittir, |AD| / |DB|'ye değil.
Alan oranını k almak: Benzerlik oranı 2/3 ise alanlar oranı 4/9'dur. Çevre oranı ise k olarak kalır.
Köşeleri yanlış eşleştirmek: Benzerlikte eşit açıların karşısındaki kenarlar eşleşir. Ters benzerlikte [AD] kenarı [AC] ile, [AE] kenarı [AB] ile eşleşir.
Paralel olmayanı paralel sanmak: m(ADE) = m(ACB) verildiyse [DE] ile [BC] paralel değildir; temel orantı değil, ters benzerlik uygulanır.
Sin 120° ya da sin 150°'yi yanlış almak: Bir açının sinüsü, bütünlerinin sinüsüne eşittir: sin 120° = sin 60°, sin 150° = sin 30°.

Şekle bak, çözBir şık seç

Benzerlik oranı 25 olan iki benzer üçgenden küçük olanın çevresi 16 cm'dir.

Buna göre büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir?

6ÖSYM'de nasıl soruluyor

Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

ÖSYM bu konudan her yıl birden fazla soru sorar ve genellikle alan ile benzerliği aynı soruda birleştirir. Sık görülen yapılar:

Bir üçgenin içine kenarlardan birine paralel doğru çizilir; oluşan küçük üçgenin ya da yamuğun alanı sorulur.
Bir kenar üzerindeki noktalarla bölünmüş üçgende, ortak yükseklik fikriyle alan oranları sorulur.
Yamuk ya da kesişen doğru parçalarında kelebek benzerliği kurulur; parça uzunlukları veya alanlar istenir.
Eşit açı verilerek (m(ADE) = m(ACB) gibi) ters benzerlik kurdurulur.
Dik üçgen içine yerleştirilmiş kare ya da dikdörtgen gibi şekillerde benzerlikle kenar bulunur.

Soru kökü çoğu zaman "Buna göre A(DBCE) kaç birimkaredir?" ya da "|EC| kaç birimdir?" biçimindedir. Şıklarda k yerine k² ya da parça yerine bütün kullanılarak elde edilen değerler bulunur; bu yüzden hangi üçgenin hangi üçgenle eşleştiğini yazarak ilerlemek hatayı önler.

Şekle bak, çözBir şık seç

İki benzer üçgenin çevreleri 12 cm ve 18 cm'dir. Küçük üçgenin alanı 20 cm²'dir.

Buna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

7Kısa tekrar

Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

Anlatımı bitirdin, harikasın! Şimdi kartlar ve testlerle pekiştirelim; yanlışlarını ben takip ederim.