KPSS Önlisans Geometri: Noktanın ve Doğrunun Analitiği konu anlatımı

Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat düzlemine yerleştirip uzunluk, eğim ve alan gibi büyüklükleri sayılarla hesaplamaktır. KPSS Önlisans'ta bu başlıktan her sınavda soru gelmeyebilir; gelen sorular ise genellikle iki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemi üzerine kurulu kısa sorulardır.

Konunun en büyük avantajı, sorunun şekil gerektirmemesidir: Noktaların koordinatları verildiğinde formüller doğrudan uygulanır. Yine de noktaları kabaca bir koordinat düzlemine yerleştirmek, hem işaret hatalarını yakalamayı hem de sonucun mantıklı olup olmadığını görmeyi kolaylaştırır.

Koordinat düzlemi

• Bir P(x, y) noktasında x'e apsis, y'ye ordinat denir.
• Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır: I. bölge (+, +), II. bölge (−, +), III. bölge (−, −), IV. bölge (+, −).
• x ekseni üzerindeki bir noktanın ordinatı 0'dır: (a, 0). y ekseni üzerindeki bir noktanın apsisi 0'dır: (0, b).
• P(x, y) noktasının orijine uzaklığı √(x² + y²)'dir.

İki nokta arasındaki uzaklık ve orta nokta

• A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) için |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Bu formül, yatay ve dikey farkları dik kenar kabul eden bir dik üçgende Pisagor teoreminin uygulanmasıdır.
• [AB]'nin orta noktası: ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2).
• Orta nokta ve bir uç nokta biliniyorsa diğer uç: B = 2M − A, yani x₂ = 2 · xₘ − x₁ ve y₂ = 2 · yₘ − y₁.

Eğim

• A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
• Eğim, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı α açısının tanjantıdır: m = tan α. Açı dar ise eğim pozitif, geniş ise negatiftir. α = 45° ise m = 1, α = 135° ise m = −1'dir.
• x eksenine paralel (yatay) doğrunun eğimi 0'dır; y eksenine paralel (dikey) doğrunun eğimi tanımsızdır.
• Üç nokta aynı doğru üzerindeyse (doğrusal) herhangi iki çift arasındaki eğimler eşittir.

Doğru denklemi

• Eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğru: y − y₁ = m(x − x₁).
• y = mx + n biçiminde m eğim, n ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
• ax + by + c = 0 biçimindeki doğrunun eğimi m = −a / b'dir.
• Eksenleri kestiği noktalar: x = 0 yazılarak y ekseni, y = 0 yazılarak x ekseni kesişimi bulunur. Doğru eksenleri (p, 0) ve (0, q) noktalarında kesiyorsa eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanı |p| · |q| / 2'dir.
• İki doğrunun kesişim noktası, denklemlerin ortak çözümüdür.

Paralellik ve diklik

• Paralel doğruların eğimleri eşittir: m₁ = m₂.
• Dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir: m₁ · m₂ = −1. Örneğin eğimi 3 olan doğruya dik doğrunun eğimi −1/3'tür.

Noktanın doğruya uzaklığı

• P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı: |a · x₀ + b · y₀ + c| / √(a² + b²).