KPSS Önlisans Geometri: Katı Cisimler konu anlatımı

Katı cisimler, KPSS Önlisans geometri sorularında az ama düzenli yer alan bir konudur. Sorular çoğunlukla üç cisim üzerine kuruludur: dikdörtgenler prizması, küp ve dik dairesel silindir. Senden beklenen; bu cisimlerin hacim, yanal alan, tüm yüzey alanı ve köşegen formüllerini bilmen, gerektiğinde bunları su doldurma, kutu yapma ya da ölçü değiştirme gibi günlük hayat kurgularına uygulamandır.

Sorular genellikle formülü doğrudan kullanmayı ya da bir bilgiden yola çıkıp başka bir ölçüye geçmeyi ister: "Yüzey alanı verilen küpün hacmi", "hacmi verilen silindirin yanal alanı" gibi. Birimlere dikkat et: uzunluk cm, alan cm², hacim cm³ ile ölçülür. Silindir sorularında ya sonuç π cinsinden istenir ya da soruda π = 3 alınız gibi bir bilgi verilir.

Dikdörtgenler prizması

Ayrıt uzunlukları a, b ve c olan bir kutu düşün: tabanı a'ya b'lik bir dikdörtgen, yüksekliği c'dir. Bu cismin 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır; karşılıklı yüzler birbirine eştir.

• Hacim: V = a · b · c (taban alanı · yükseklik)
• Tüm yüzey alanı: A = 2(ab + bc + ac)
• Yanal alan: 2(a + b) · c (taban çevresi · yükseklik)
• Tüm ayrıtların toplamı: 4(a + b + c)
• Cisim köşegeni: Bir köşeden, cismin içinden geçerek en uzak köşeye giden doğru parçasıdır. Uzunluğu √(a² + b² + c²) olur.
• Faydalı özdeşlik: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac). Ayrıtlar toplamı ile tüm yüzey alanı birlikte verildiğinde cisim köşegeni bu özdeşlikle bulunur.

Küp

Küp, bütün ayrıtları eşit (a) olan dikdörtgenler prizmasıdır; 6 yüzünün her biri a kenarlı bir karedir.

• Hacim: V = a³
• Tüm yüzey alanı: A = 6a²; yanal alan (dört yan yüz): 4a²
• Ayrıtlar toplamı: 12a
• Yüzey köşegeni: a√2; cisim köşegeni: a√3
• Oran kuralı: Ayrıt k katına çıkarsa alan k² katına, hacim k³ katına çıkar. Ayrıt küçülürse de aynı kural geçerlidir.

Dik dairesel silindir

Tabanları birbirine paralel ve eş iki daire olan, yan yüzeyi kıvrılmış bir dikdörtgenden oluşan cisimdir. Taban yarıçapı r, yüksekliği h ile gösterilir. Bir su bardağını ya da konserve kutusunu düşün: yan yüzeyindeki etiketi dikey olarak kesip açarsan bir dikdörtgen elde edersin. Bu dikdörtgenin bir kenarı taban çevresine (2πr), diğer kenarı yüksekliğe (h) eşittir.

• Hacim: V = πr²h (taban alanı · yükseklik)
• Yanal alan: 2πrh (taban çevresi · yükseklik)
• Tüm yüzey alanı: 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
• Açınım: Yanal yüzey, kenarları 2πr ve h olan bir dikdörtgendir.