KPSS Önlisans Geometri: Çember ve Daire konu anlatımı

Çember ve daire konusu, KPSS Önlisans'ta çoğunlukla çevre, alan, yay uzunluğu ve daire dilimi hesabı olarak sorulur. Bu başlıktan her sınavda soru gelmeyebilir; ancak geldiğinde genellikle birkaç formülün doğru uygulanmasıyla çözülebilen, kısa bir sorudur.

Önce iki kavramı ayırmak gerekir: Çember, bir merkeze eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu eğridir; yalnızca bir çizgidir, bu yüzden çemberin uzunluğu (çevresi) hesaplanır. Daire ise çemberle birlikte iç bölgesidir; bu yüzden dairenin alanı hesaplanır. Günlük dilde "dairenin çevresi" dendiğinde sınırını oluşturan çemberin uzunluğu kastedilir.

Sorularda π sayısı ya π olarak bırakılır (sonuç "36π" gibi yazılır) ya da soru kökünde "π = 3 alınız" gibi bir yaklaşık değer verilir. Kök hangi değeri veriyorsa o kullanılmalıdır.

Temel elemanlar

• Yarıçap (r): Merkezi çember üzerindeki bir noktaya birleştiren doğru parçası.
• Çap (d): Merkezden geçen kiriş; d = 2r. Çap, çemberin en uzun kirişidir.
• Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası.
• Yay: Çemberin iki nokta arasında kalan parçası.
• Teğet: Çembere yalnızca bir noktada değen doğru.

Çevre ve alan

• Çemberin uzunluğu (çevre): Ç = 2πr = πd.
• Dairenin alanı: A = πr².
• Yarıçap k katına çıkarsa çevre k katına, alan k² katına çıkar. Örneğin yarıçap 3 katına çıkarsa alan 9 katına çıkar.
• Yarım dairenin çevresi yalnızca yay değildir: πr + 2r (yay + çap).

Yay ve daire dilimi (merkez açısı α)

• Yay uzunluğu: 2πr · α / 360°.
• Daire diliminin alanı: πr² · α / 360°.
• Kısa yol: Daire diliminin alanı = yay uzunluğu · r / 2.
• Merkez açı 45° ise dilim dairenin 1/8'i, 90° ise 1/4'ü, 120° ise 1/3'ü, 180° ise yarısıdır.

Daire halkası

• İç içe (aynı merkezli) iki çember arasında kalan bölgenin alanı: π(R² − r²). Burada R dış, r iç yarıçaptır.

Çemberde açılar

• Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
• Çevre açının (köşesi çember üzerinde olan açı) ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır.
• Çapı gören çevre açı 90°'dir. Bir üçgenin bir kenarı çap, üçüncü köşesi çember üzerindeyse bu üçgen dik üçgendir.
• Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğet, yarıçap ve merkeze uzaklık bir dik üçgen oluşturur.
• Dışarıdaki bir noktadan çembere çizilen iki teğet parçasının uzunlukları eşittir.

Kare ve dikdörtgenle birlikte

• Bir karenin içine teğet olarak çizilen dairenin çapı, karenin kenarına eşittir.
• Bir karenin köşelerinden geçen çemberin çapı, karenin köşegenine eşittir.