KPSS Önlisans Üslü ve Köklü Sayılar konu anlatımı

Üslü ve köklü sayılar, KPSS Önlisans Genel Yetenek matematik testinde her yıl genellikle 1 soru ile doğrudan yer alır. Konunun asıl önemi ise dolaylı etkisidir: çarpanlara ayırma, denklemler ve sayı problemlerinde üs ve kök kurallarını sürekli kullanırsın. Önlisans oturumunda sorular Lisans'a göre biraz daha kısa işlemlerle çözülür; ancak kurallar tamamen aynıdır.

n tane a sayısının çarpımı aⁿ ile gösterilir; a taban, n üs olarak adlandırılır. Örneğin 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32'dir. Köklü sayılar ise üslü sayıların tersidir: √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır (√64 = 8), ∛a ise küpü a olan sayıdır (∛(−27) = −3).

Bu konuda başarının anahtarı üç alışkanlıktır: tabanları eşitlemek, kök içindeki tam kare çarpanları dışarı çıkarmak ve toplama ile çarpma kurallarını birbirine karıştırmamak. Test sorularında üsler 3^(x + 2) biçiminde de yazılır; bu yazım 3ˣ⁺² ile aynı anlamdadır.

Üslü sayılar

• Özel durumlar: a¹ = a; a⁰ = 1 (a ≠ 0); 1ⁿ = 1. 0⁰ tanımsızdır.
• Negatif üs: a⁻ⁿ = 1/aⁿ ve (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Negatif üs sonucu negatif yapmaz, tabanı ters çevirir: 5⁻² = 1/25.
• İşaret: Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8. Parantez yoksa eksi işareti üsse dâhil değildir: −2⁴ = −16.
• Çarpma: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Bölme: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
• Üssün üssü: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Örnek: (3²)³ = 3⁶ = 729.
• Üsleri eşit sayılar: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ ve aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ. Örnek: 2⁴ · 5⁴ = 10⁴ = 10 000.
• Toplama: Yalnızca taban ve üssü aynı terimler birleşir: 3ˣ + 3ˣ + 3ˣ = 3 · 3ˣ = 3ˣ⁺¹. Farklı üslerde ortak çarpan parantezine alınır: 2ˣ⁺³ − 2ˣ = 2ˣ(8 − 1) = 7 · 2ˣ.
• Üslü denklemler: Tabanlar eşitlenir, sonra üsler eşitlenir: 8ˣ = 16 → 2³ˣ = 2⁴ → x = 4/3.
• Basamak sayısı: 2ᵃ · 5ᵇ biçimindeki sayılarda ortak kısım 10'un kuvvetine çevrilir; kalan çarpanın basamak sayısına sıfır sayısı eklenir.

Köklü sayılar

• Tanım: Çift dereceli kökte kök içi negatif olamaz ve √a ≥ 0'dır. √(x²) = |x|.
• Kesirli üs: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ. Örnek: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
• Dışarı çıkarma: √(a² · b) = a√b. Örnek: √48 = √(16 · 3) = 4√3. İçeri alma: 2√7 = √(4 · 7) = √28.
• Çarpma ve bölme: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b).
• Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök içi aynı olan terimler birleşir: 5√2 − 2√2 = 3√2. √a + √b ≠ √(a + b).
• Paydayı rasyonel yapma: 1/√a = √a/a. Paydada √a − √b varsa eşleniği √a + √b ile genişletilir: (√a − √b)(√a + √b) = a − b.
• İç içe kök: x + y = a ve x · y = b (x > y) ise √(a + 2√b) = √x + √y, √(a − 2√b) = √x − √y.
• Sıralama: Köklü sayılar kök içine alınarak karşılaştırılır: 3√3 = √27 ve 2√6 = √24 olduğundan 2√6 < 3√3.