KPSS Önlisans Geometri: Dörtgenler ve Çokgenler konu anlatımı

Dörtgenler ve çokgenler konusu, KPSS Önlisans geometri sorularında en çok alan ve çevre hesabı olarak karşımıza çıkar. Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuk için alan formüllerini bilmek; çokgenlerde ise iç açılar toplamını, bir iç ve bir dış açıyı ve köşegen sayısını hesaplayabilmek bu konunun özüdür.

Sorular genellikle basit ya da orta düzeydedir. Çoğu soruda bir formül doğrudan uygulanır; biraz daha zor sorularda ise dörtgenin içinde bir dik üçgen oluşturup Pisagor teoremiyle eksik bir uzunluğu bulmak gerekir. Bu nedenle dik üçgen bilgisi bu konunun da ön koşuludur.

Tüm dörtgenler için

• Bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360°, dış açılarının toplamı da 360°'dir.
• Çevre, dört kenarın uzunlukları toplamıdır.

Kare (kenarı a)

• Alan = a², Çevre = 4a.
• Köşegen uzunluğu a√2'dir; köşegenler eşit uzunluktadır, birbirini ortalar ve birbirine diktir.
• Köşegeni e olan karenin alanı e² / 2'dir.

Dikdörtgen (kenarları a ve b)

• Alan = a · b, Çevre = 2(a + b).
• Köşegen uzunluğu √(a² + b²)'dir; köşegenler eşittir ve birbirini ortalar.
• Çevre ve köşegen birlikte verildiğinde (a + b)² = a² + b² + 2ab özdeşliği alanı (ab) doğrudan verir.

Paralelkenar

• Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir; karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir (toplamları 180°).
• Köşegenler birbirini ortalar ama genellikle eşit ya da dik değildir.
• Alan = taban · o tabana ait yükseklik. Yükseklik, yan kenar değil, iki paralel kenar arasındaki dik uzaklıktır.

Eşkenar dörtgen (dört kenarı eşit paralelkenar)

• Köşegenler birbirini dik olarak ortalar. Köşegenler e ve f ise alan e · f / 2'dir.
• Köşegenlerin yarıları ve bir kenar bir dik üçgen oluşturur: kenar² = (e/2)² + (f/2)².
• Bir paralelkenar olduğu için alan, kenar · yükseklik olarak da hesaplanabilir.
• Köşegenleri birbirine dik olan her dörtgende (kare, eşkenar dörtgen, deltoid) alan e · f / 2 formülüyle bulunur.

Yamuk (tabanları a ve c, yüksekliği h)

• İki kenarı paralel olan dörtgendir; paralel kenarlara taban denir.
• Alan = (a + c) · h / 2. Orta taban (yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası) (a + c) / 2'dir; bu nedenle alan = orta taban · yükseklik olarak da yazılabilir.
• İkizkenar yamukta yan kenarlar eşittir. Üst tabanın uçlarından alt tabana dikmeler indirildiğinde iki yanda (a − c) / 2 uzunluğunda parçalar ve iki eş dik üçgen oluşur.
• Bir yan kenarın iki ucundaki iç açılar (biri alt tabanda, biri üst tabanda) bütünlerdir; çünkü tabanlar paraleldir.

Çokgenler (n kenarlı)

• İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°. Örneğin beşgende 540°, altıgende 720°, yedigende 900°.
• Dış açılar toplamı her çokgende 360°'dir.
• Bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir.
• Düzgün çokgende (tüm kenarları ve açıları eşit) bir dış açı 360° / n, bir iç açı (n − 2) · 180° / n'dir. Bir dış açı verilirse kenar sayısı n = 360° / dış açı ile bulunur.
• Köşegen sayısı = n · (n − 3) / 2. Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı n − 3'tür ve bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır.
• Sık kullanılan değerler: düzgün beşgenin bir iç açısı 108°, düzgün altıgeninki 120°, düzgün sekizgeninki 135°, düzgün ongeninki 144°'dir.