KPSS Önlisans İşlem ve Modüler Aritmetik konu anlatımı

İşlem ve modüler aritmetik, KPSS Önlisans matematik testinde genellikle bir soruyla yer alır. Konunun iki ayağı vardır:

• Tanımlı işlemler: Soruda "a ∗ b = 3a + b − 4" gibi yeni bir işlem kuralı verilir ve bu kuralı doğru uygulaman beklenir. Değişme, birleşme, birim (etkisiz) eleman ve ters eleman kavramları bu başlıkta sorulur.
• Modüler aritmetik: Bir sayının belirli bir sayıya bölümünden kalanla çalışılır. Büyük üslerin kalanı, birler basamağı, gün ve saat hesapları bu başlığın klasik sorularıdır.

İki başlıkta da işlemler kısadır; puan kaybettiren şey kuralı yanlış yere uygulamak (a ile b'nin yerini karıştırmak) ya da kalanın döngüsünü yanlış saymaktır.

Tanımlı işlemler

• Kuralı harfiyen uygula: a ∗ b = 4a − 3b ise 5 ∗ 2 = 4 · 5 − 3 · 2 = 14, fakat 2 ∗ 5 = 8 − 15 = −7'dir. Sıra önemlidir.
• İç içe işlemlerde önce parantez: (1 ∗ 2) ∗ 4 hesaplanırken önce 1 ∗ 2 bulunur, sonuç ilk elemanın yerine yazılır.
• Değişme özelliği: Her a, b için a ∗ b = b ∗ a ise işlem değişmelidir.
• Birleşme özelliği: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ise işlem birleşmelidir. Örneğin a ∗ b = (a + b) / 2 işlemi birleşmeli değildir.
• Birim (etkisiz) eleman e: Her a için a ∗ e = e ∗ a = a.
• Ters eleman: a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e. Ters eleman bulunmadan önce mutlaka birim eleman bulunmalıdır.
• Pratik sonuç: a ∘ b = a + b − k işleminde birim eleman k, a'nın tersi 2k − a'dır. a ∘ b = a + b + k işleminde birim eleman −k'dır.
• Tabloyla verilen işlemler: Satırdaki eleman ile sütundaki eleman işleme girer. Birim eleman, satırı başlık satırının aynısı olan elemandır; tablo köşegene göre simetrikse işlem değişmelidir.

Modüler aritmetik

• a ≡ b (mod m): a ile b'nin m'ye bölümünden kalanlar eşittir; yani m, a − b'yi tam böler. Örneğin 53 ≡ 3 (mod 5), çünkü 53 = 5 · 10 + 3.
• Mod m'de kalanlar 0, 1, 2, …, m − 1 değerlerini alır.
• Toplama, çıkarma ve çarpma kalanlar üzerinden yapılabilir: a ≡ r ve b ≡ s ise a + b ≡ r + s ve a · b ≡ r · s (mod m).
• Negatif kalan: −2 ≡ 7 (mod 9); negatif sonuca m eklenerek pozitif kalana geçilir.
• Üslü ifadeler: Tabanın kuvvetlerinin kalanları bir süre sonra tekrar eder. Kalanı 1 olan ilk kuvvet bulunduğunda (örneğin 3⁴ = 81 ≡ 1 (mod 5)) döngü uzunluğu belirlenmiş olur; üs bu uzunluğa bölünür ve yalnızca bölümden kalan kadar kuvvet hesaplanır.
• Birler basamağı = sayının mod 10'daki kalanıdır.
• Günler mod 7, saatler mod 12 ya da mod 24 ile hesaplanır.
• Dikkat: Mod aritmetiğinde bölme serbestçe yapılamaz; 4x ≡ 5 (mod 7) gibi denklemler 0'dan m − 1'e kadar değer denenerek çözülür.