LGS Çarpanlar ve Katlar konu anlatımı

Çarpanlar ve Katlar, 8. sınıf Matematik dersinin ilk ünitesidir ve LGS Matematik testinde her yıl genellikle 2–3 soruyla yer alır. Ünite; bir sayının çarpanlarını (bölenlerini) bulmayı, asal sayıları tanımayı, sayıları asal çarpanlarına ayırmayı, EBOB (en büyük ortak bölen) ve EKOK (en küçük ortak kat) hesaplamayı ve bunları günlük hayat problemlerinde kullanmayı kapsar.

LGS'de bu konunun soruları çoğunlukla doğrudan hesap değil, bir hikâye içine yerleştirilmiş problem biçimindedir: kurdeleleri eşit parçalara kesmek, ürünleri eşit paketlere ayırmak, farklı aralıklarla çalan zillerin ya da kalkan otobüslerin yeniden ne zaman buluşacağını bulmak gibi. Başarının anahtarı, sorunun EBOB mu yoksa EKOK mu istediğini doğru tanımaktır.

Çarpan (bölen): Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları denir. Çarpanlar çiftler hâlinde bulunur: 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 olduğundan 24'ün çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür.

Kat: Bir sayının doğal sayılarla çarpımıyla elde edilen sayılardır. 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, …

Asal sayı: 1'den ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

• 1 asal sayı değildir.
• 2, tek çift asal sayıdır.: 2'den büyük bütün asal sayılar tektir.
• Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, karekökünden küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir. Örneğin 91 = 7 · 13 olduğu için asal değildir.

Asal çarpanlara ayırma: 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Bölen listesi ya da çarpan ağacı kullanılır ve sonuç üslü ifadeyle yazılır:

• 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3²
• 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5

Bir sayının asal çarpanları, bu yazılışta görünen farklı asal sayılardır. 72'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.

EBOB (en büyük ortak bölen): Sayıların hepsini kalansız bölen en büyük sayıdır. Asal çarpanlara ayrılmış yazılışta ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.

EKOK (en küçük ortak kat): Sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır. Bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.

Aralarında asal sayılar: 1'den başka ortak çarpanı olmayan, yani EBOB'u 1 olan sayılardır. Örnek: 8 ve 15. Bu sayılar kendileri asal olmak zorunda değildir. Aralarında asal iki sayının EKOK'u, sayıların çarpımına eşittir.

İki sayı için önemli kural: EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b

Pratik ipuçları:

• Tam kare sayıların (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) çarpan sayısı tektir; diğer sayıların çarpan sayısı çifttir.
• EBOB, sayıların en küçüğünden büyük olamaz; EKOK, sayıların en büyüğünden küçük olamaz.
• "En büyük parça, en uzun parça, en az paket, en büyük kare fayans" → sayıları bölen en büyük sayı → EBOB.
• "Yeniden birlikte, en az kaç gün/dakika sonra, en küçük kare oluşturma" → sayıların ortak katı → EKOK.
• Kalanlı sorular: Bir sayı 4'e, 6'ya ve 9'a bölündüğünde hep 2 kalanını veriyorsa, sayının 2 eksiği bu sayıların ortak katıdır.