LGS Eşlik ve Benzerlik konu anlatımı

Eşlik ve benzerlik, 8. sınıf geometri ünitesinde yer alır. LGS'de genellikle 1 soru gelir; bu soru çoğu zaman fotoğraf büyütme, maket, harita ölçeği ya da gölge gibi günlük hayat durumları üzerine kurulur. Konunun özü şudur: Eş şekiller birbirinin tıpatıp kopyasıdır; benzer şekiller ise birbirinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hâlidir.

Bu konuda başarılı olmak için karşılıklı kenarları doğru eşleştirmek, benzerlik oranını bulmak ve bu oranı bilinmeyen kenarlara uygulamak yeterlidir.

Eşlik (≅): Biçimleri ve büyüklükleri aynı olan şekillere eş şekiller denir. Eş çokgenlerde

• karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir,
• karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.

ABC ≅ DEF yazıldığında köşeler sırasıyla eşleşir: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Buna göre |AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |AC| = |DF| ve m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) olur.

Benzerlik (~): Biçimleri aynı, büyüklükleri aynı ya da farklı olabilen şekillere benzer şekiller denir. İki çokgenin benzer olması için

1. karşılıklı açılarının ölçüleri eşit,
2. karşılıklı kenar uzunluklarının oranları eşit olmalıdır.

Bu sabit orana benzerlik oranı denir ve genellikle k ile gösterilir. ABCD ~ EFGH ise |AB|/|EF| = |BC|/|FG| = |CD|/|GH| = |DA|/|HE| = k.

Önemli notlar:

• Eş şekiller aynı zamanda benzerdir;: benzerlik oranları 1'dir. Benzer şekiller ise eş olmak zorunda değildir.
• Çokgenlerde iki koşulun ikisi de gerekir. Kare ile uzun kenarı kısa kenarından farklı bir dikdörtgenin bütün açıları 90°'dir ama kenar oranları farklıdır; benzer değildirler.
• Üçgenlerde: karşılıklı açıların ölçüleri eşitse üçgenler benzerdir. İki açı eşitse üçüncü açı da eşit olacağından iki açının eşitliği yeterlidir.
• Her zaman benzer olanlar: bütün kareler, bütün eşkenar üçgenler, kenar sayısı aynı olan bütün düzgün çokgenler.
• Benzerlikte açılar değişmez; sadece uzunluklar k ile çarpılır.
• Benzer çokgenlerin çevreleri oranı da benzerlik oranına eşittir.
• Alan hesaplanacaksa önce kenar uzunlukları benzerlik oranıyla bulunur, sonra alan hesaplanır. (Ek bilgi: alanlar oranı k · k olur.)

Ölçek: Harita ve maketlerdeki ölçek aslında bir benzerlik oranıdır. 1 : 50 000 ölçekli haritada 1 cm, gerçekte 50 000 cm = 500 m'dir.

Gölge problemleri: Aynı anda güneş ışınları yere aynı açıyla geldiğinden, dik duran cisimler ve gölgeleri benzer dik üçgenler oluşturur: boy₁ / gölge₁ = boy₂ / gölge₂.

Örnek 1: ABCD ~ KLMN dörtgenlerinde |AB| = 6 cm, |BC| = 10 cm, |KL| = 9 cm ve m(B) = 100°'dir. |LM| ve m(L) değerlerini bul.

Benzerlik oranı |KL|/|AB| = 9/6 = 3/2'dir. |LM| = |BC| · 3/2 = 10 · 3/2 = 15 cm. Benzerlikte açılar değişmez: m(L) = m(B) = 100°.

Örnek 2: Boyu 1,6 m olan bir öğrencinin gölgesi 2 m iken aynı anda bir bayrak direğinin gölgesi 10 m'dir. Direğin boyu kaç metredir?

boy / gölge oranı aynıdır: 1,6 / 2 = h / 10 ⇒ h = 1,6 · 10 ÷ 2 = 8 m. Kontrol: 8 / 10 = 0,8 ve 1,6 / 2 = 0,8.

Örnek 3: Kenarları 4 cm ve 7 cm olan dikdörtgene benzer olan başka bir dikdörtgenin uzun kenarı 21 cm'dir. Bu dikdörtgenin çevresini ve alanını bul.

Benzerlik oranı 21/7 = 3'tür. Kısa kenar 4 · 3 = 12 cm olur. Çevre 2(12 + 21) = 66 cm; bu, küçük dikdörtgenin çevresinin (22 cm) 3 katıdır. Alan 12 · 21 = 252 cm²; bu ise küçük dikdörtgenin alanının (28 cm²) 3 · 3 = 9 katıdır.

Örnek 4: ABC ≅ KLM üçgenlerinde m(A) = 50°, m(L) = 70° ve |AB| = 8 cm'dir. m(M) ve |KL| değerlerini bul.

Eşlikte köşeler sırasıyla eşleşir: m(K) = m(A) = 50° ve m(B) = m(L) = 70°. m(M) = 180° − (50° + 70°) = 60°. |KL| = |AB| = 8 cm.