LGS Doğrusal Denklemler konu anlatımı

Doğrusal denklemler, 8. sınıf Matematik dersinin cebir ünitesinde yer alır ve LGS Matematik testinde her yıl ortalama 2 soruyla karşımıza çıkar. Konu dört ana parçadan oluşur: birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözmek, koordinat sistemini kullanmak, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi tablo, denklem ve grafikle göstermek, eğimi yorumlamak. Buna ek olarak iki bilinmeyenli basit denklem sistemleri de problemlerin çözümünde işe yarar.

LGS soruları genellikle bir günlük hayat durumu (taksi ücreti, eriyen mum, dolan depo, abonelik ücreti) üzerine kurulur. Senden beklenen; durumu bir denkleme çevirmek, bu denklemi doğru çözmek ve sonucu soruya göre yorumlamaktır.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem: a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimine getirilebilen denklemdir. Çözerken eşitliğin korunumu kullanılır: eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenir, çıkarılır; iki taraf aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılır ya da bölünür.

• Parantez varsa önce dağıt: 2(x + 4) = 2x + 8
• Kesirli denklemde paydaların EKOK'u ile her terimi çarp.
• Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa topla. Taraf değiştiren terimin işareti değişir.

Koordinat sistemi: Yatay sayı doğrusuna x ekseni, dikey sayı doğrusuna y ekseni, kesiştikleri (0, 0) noktasına orijin denir. Bir nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir; önce yatay, sonra dikey konum yazılır. Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır:

• I. bölge: (+, +) II. bölge: (−, +) III. bölge: (−, −) IV. bölge: (+, −)
• Eksenler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir.

Doğrusal ilişki: İki değişkenden biri sabit miktarda artarken diğeri de sabit miktarda artıyor ya da azalıyorsa aralarında doğrusal ilişki vardır. Genel denklem y = mx + n biçimindedir. Tabloda x her 1 arttığında y hep aynı miktarda (m kadar) değişir.

Doğrunun grafiği (sözle): Grafiği çizmek için iki nokta yeterlidir. En kolay yol eksenleri kestiği noktaları bulmaktır:

• y eksenini kestiği nokta: x = 0 yazılır. y = 2x + 6 için (0, 6).
• x eksenini kestiği nokta: y = 0 yazılır. 0 = 2x + 6 ⇒ x = −3, yani (−3, 0).
• Bu iki nokta birleştirildiğinde doğru, soldan sağa doğru yükselen bir doğru olur.
• y = n: biçimindeki doğru x eksenine paraleldir (yatay). x = a biçimindeki doğru y eksenine paraleldir (dikey); üzerindeki her noktanın apsisi a'dır.
• y = mx: biçimindeki doğrular (n = 0) orijinden geçer.

Eğim: Bir doğrunun dikliğini gösterir.

• Eğim = dikey değişim ÷ yatay değişim = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
• y = mx + n doğrusunun eğimi m'dir.
• Eğim pozitifse doğru soldan sağa yükselir, negatifse alçalır. Yatay doğrunun eğimi 0'dır; dikey doğrunun eğimi tanımsızdır.
• Rampa, merdiven, yol gibi durumlarda eğim = yükseklik ÷ yatay uzunluk.

İki bilinmeyenli denklem sistemi: İki bilinmeyenli iki denklemi birlikte sağlayan (x, y) ikilisi aranır.

• Yok etme: Denklemler taraf tarafa toplanır ya da çıkarılır, bir bilinmeyen yok edilir.
• Yerine koyma: Bir denklemden bir bilinmeyen çekilip diğerinde yerine yazılır.
• Grafikte çözüm, iki doğrunun kesişim noktasıdır.

Örnek 1: (2x + 1)/3 = (x + 4)/2 denklemini çöz.

Paydaların EKOK'u 6'dır; her iki tarafı 6 ile çarparız: 2(2x + 1) = 3(x + 4) ⇒ 4x + 2 = 3x + 12 ⇒ x = 10. Kontrol: (2·10 + 1)/3 = 21/3 = 7 ve (10 + 4)/2 = 14/2 = 7. Eşitlik sağlanıyor.

Örnek 2: y = −2x + 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bul ve grafiğini sözle betimle.

x = 0 için y = 6 ⇒ y eksenini (0, 6) noktasında keser. y = 0 için 0 = −2x + 6 ⇒ x = 3 ⇒ x eksenini (3, 0) noktasında keser. Eğim −2 (negatif) olduğundan doğru soldan sağa alçalır ve I. bölgede eksenlerle bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin dik kenarları 3 ve 6 birim, alanı 3 · 6 ÷ 2 = 9 birimkaredir.

Örnek 3: A(−1, 4) ve B(3, −4) noktalarından geçen doğrunun eğimini bul.

Dikey değişim: −4 − 4 = −8. Yatay değişim: 3 − (−1) = 4. Eğim = −8 ÷ 4 = −2. Eğim negatif olduğu için doğru soldan sağa alçalır.

Örnek 4: Bir kargo firması gönderi başına 30 TL sabit ücret ve kilogram başına 8 TL alıyor. 110 TL ödenen bir gönderi kaç kilogramdır?

Ödenen ücret y, ağırlık x kg ise y = 8x + 30 olur. 8x + 30 = 110 ⇒ 8x = 80 ⇒ x = 10 kg. Kontrol: 8 · 10 + 30 = 110 TL.

Örnek 5: x + 2y = 11 ve 3x − 2y = 1 denklem sistemini çöz.

Denklemleri taraf tarafa toplarsak y'ler yok olur: 4x = 12 ⇒ x = 3. İlk denklemde yerine yazalım: 3 + 2y = 11 ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4. Kontrol: 3 + 2·4 = 11 ve 3·3 − 2·4 = 9 − 8 = 1. Çözüm (3, 4); bu iki doğru grafikte (3, 4) noktasında kesişir.