LGS Eşitsizlikler konu anlatımı

Eşitsizlikler, 8. sınıf cebir ünitesinin son konusudur. LGS'de genellikle 1 soruyla yer alır; ancak bu soru çoğunlukla bir günlük hayat problemine (bütçe, kapasite, ortalama, tarife karşılaştırması) gömülüdür. Bu nedenle hem eşitsizliği doğru çözmek hem de sözel ifadeyi doğru eşitsizliğe çevirmek gerekir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler, denklemlere çok benzer biçimde çözülür. Tek önemli fark şudur: eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.

Eşitsizlik sembolleri:

• a < b: a, b'den küçüktür.
• a > b: a, b'den büyüktür.
• a ≤ b: a, b'den küçük ya da b'ye eşittir.
• a ≥ b: a, b'den büyük ya da b'ye eşittir.

Sözel ifadeleri çevirme:

• "en az 80" ⇒ ≥ 80 "en fazla 600" ⇒ ≤ 600
• "150 TL'yi geçmemeli" ⇒ ≤ 150 "35'ten küçük" ⇒ < 35 "12'den fazla" ⇒ > 12

Sayı doğrusunda gösterim (sözle):

• < ve > sembollerinde sınır sayı çözüme dâhil değildir; sayı doğrusunda bu noktaya içi boş daire konur.
• ≤ ve ≥ sembollerinde sınır sayı çözüme dâhildir; bu noktaya içi dolu daire konur.
• x > a ya da x ≥ a için ok sağa, x < a ya da x ≤ a için ok sola doğru çizilir.
• Örneğin x ≥ −2: −2 noktasında içi dolu daire, buradan sağa doğru ok.
• İki sınırı olan −3 < x ≤ 4 gibi bir eşitsizlikte −3'te içi boş, 4'te içi dolu daire konur ve iki nokta arası boyanır.

Çözüm kuralları:

1. Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa yön değişmez.
2. İki taraf aynı pozitif sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişmez.
3. İki taraf aynı negatif sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön ters döner: < yerine >, ≤ yerine ≥ yazılır.

Örneğin −2x > 10 eşitsizliğinde iki taraf −2'ye bölünür ve yön değişir: x < −5.

Çözüm kümesinden seçim yapmak: Eşitsizliğin sonsuz çözümü olabilir. Sorular çoğunlukla "en büyük tam sayı", "en küçük doğal sayı" ya da "kaç tane tam sayı" gibi sınırlı bir seçim ister. Doğal sayıların 0'dan başladığını, pozitif tam sayıların 1'den başladığını unutma.

Örnek 1: 4 − 3x ≤ 19 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayıyı bul.

İki taraftan 4 çıkarılır: −3x ≤ 15. İki taraf −3'e bölünür ve yön değişir: x ≥ −5. Sınır dâhil olduğu için en küçük tam sayı −5'tir. Sayı doğrusunda −5 noktasına içi dolu daire konur ve sağa doğru ok çizilir. Kontrol: x = −5 için 4 − 3·(−5) = 4 + 15 = 19 ≤ 19 sağlanır.

Örnek 2: (x + 2)/3 > x − 4 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

İki taraf 3 ile çarpılır (pozitif, yön değişmez): x + 2 > 3x − 12. Bilinmeyenler sağa, sayılar sola toplanır: 14 > 2x ⇒ 7 > x, yani x < 7. Sınır dâhil olmadığından en büyük tam sayı 6'dır. Kontrol: x = 6 için 8/3 > 2 doğrudur; x = 7 için 3 > 3 yanlıştır.

Örnek 3: −2 < x ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

−2 dâhil değil, 3 dâhildir. Tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3. Toplam 5 tanedir.

Örnek 4: Ayşe 45 TL'lik bir defter ve tanesi 12 TL olan kalemlerden birkaç tane alacaktır. Toplam harcaması 150 TL'yi geçmeyecekse en fazla kaç kalem alabilir?

Kalem sayısı n olsun: 45 + 12n ≤ 150 ⇒ 12n ≤ 105 ⇒ n ≤ 8,75. Kalem sayısı doğal sayı olmalıdır; en fazla 8 kalem alınabilir. Kontrol: 8 kalemle 45 + 96 = 141 TL; 9 kalemle 45 + 108 = 153 TL olur ve 150 TL aşılır.