LGS Üçgenler konu anlatımı

Üçgenler, 8. sınıf geometri ünitesinin temel konusudur ve LGS Matematik testinde genellikle 1 soruyla yer alır. Bu konudaki bilgiler (özellikle Pisagor bağıntısı) eşlik-benzerlik, geometrik cisimler ve koordinat sorularında da sık kullanılır.

8. sınıfta üçgenle ilgili şu başlıklar öğrenilir: üçgenin yardımcı elemanları (kenarortay, açıortay, yükseklik), üçgen eşitsizliği (hangi uzunluklarla üçgen oluşturulabilir), kenar–açı ilişkisi (büyük açının karşısında büyük kenar) ve Pisagor bağıntısı. Önceki sınıflardan gelen iç açılar toplamı ve dış açı bilgileri de sorularda birlikte kullanılır.

Açı bağıntıları:

• Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°'dir.
• Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Ayrıca iç açı + komşu dış açı = 180°'dir.
• İkizkenar üçgende: eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir. Tepe açısı 40° ise taban açılarının her biri (180° − 40°) ÷ 2 = 70°'dir.
• Eşkenar üçgende: üç kenar ve üç açı eşittir; her açı 60°'dir.

Yardımcı elemanlar:

• İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır; tabanı iki eşit parçaya ayırır.

Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür.

• Kenarlar a, b, c ise: |b − c| < a < b + c
• Kısa yol: En uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Toplama eşitse üçgen oluşmaz.

Kenar–açı ilişkisi: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. A köşesindeki açının karşısındaki kenar [BC], B'ninki [AC], C'ninki [AB]'dir.

Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs (dik açının karşısındaki en uzun kenar) c ise

• a² + b² = c²
• Sık kullanılan Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları (6-8-10, 9-12-15 gibi).
• Kenarları verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığı, en uzun kenarın karesinin diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit olup olmadığına bakılarak anlaşılır.
• Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık da Pisagor ile bulunur: yatay fark ve dikey fark dik kenarlar, uzaklık hipotenüstür.

Örnek 1: Bir ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri x + 10°, 2x ve 3x − 10°'dir. En büyük açıyı bul.

(x + 10) + 2x + (3x − 10) = 180 ⇒ 6x = 180 ⇒ x = 30. Açılar 40°, 60° ve 80°'dir. Kontrol: 40 + 60 + 80 = 180. En büyük açı 80°'dir ve en uzun kenar bu açının karşısındadır.

Örnek 2: İki kenarının uzunluğu 3 cm ve 8 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı santimetre cinsinden bir tam sayıdır. Üçüncü kenar kaç farklı değer alabilir?

8 − 3 < x < 8 + 3 ⇒ 5 < x < 11. Tam sayı değerleri 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere 5 tanedir. 5 ve 11 sınırları dâhil değildir.

Örnek 3: Kenarları 20 m ve 21 m olan dikdörtgen bir tarlanın köşegen uzunluğunu bul.

Köşegen, kenarlarla bir dik üçgen oluşturur: 20² + 21² = 400 + 441 = 841. 841 = 29² olduğundan köşegen 29 m'dir.

Örnek 4: Eşit kenarları 10 cm, tabanı 12 cm olan ikizkenar üçgenin alanını bul.

Tabana ait yükseklik tabanı ikiye böler: 12 ÷ 2 = 6 cm. Pisagor: h² + 6² = 10² ⇒ h² = 100 − 36 = 64 ⇒ h = 8 cm. Alan = 12 · 8 ÷ 2 = 48 cm².

Örnek 5: Dik kenarları 3 cm ve 6 cm olan dik üçgenin hipotenüsünü bul.

c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45 ⇒ c = √45 = √(9 · 5) = 3√5 cm. Hipotenüs her zaman tam sayı çıkmaz; kareköklü ifadeyi sadeleştirmeyi unutma.