Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
7 bölüm · ~15 dk · 14 etkileşim
Diziler, AYT Matematik testinde her yıl 1–2 soruyla karşına çıkan, hem doğrudan formül bilgisi hem de günlük hayat problemleriyle sorulan bir konudur. Bir dizi, pozitif tam sayılardan (1, 2, 3, …) reel sayılara tanımlı bir fonksiyondur. Dizinin n. terimi aₙ ile, dizinin kendisi (aₙ) ile gösterilir. Örneğin aₙ = 2n + 1 dizisinin terimleri 3, 5, 7, 9, … şeklindedir.
AYT'de en çok iki özel dizi sorulur: her terimin bir öncekine sabit bir sayı eklenerek bulunduğu aritmetik dizi ve her terimin bir öncekinin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla bulunduğu geometrik dizi. Bunların yanında genel terimi verilen dizide terim bulma, indirgemeli (rekürsif) tanımlı diziler ve ilk n terim toplamından genel terime geçiş de sık görülen soru tipleridir.
1Genel terim ve temel kavramlar
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
Bir diziyi tanımanın üç yolu vardır: genel terim formülü, toplam formülü ya da bir önceki terimden sonrakini veren kural.
aₙ = 3n + 2n + 1 dizisinin kaçıncı terimi 2910'dur?
İndirgemeli dizide sabırlı ol: Genel terim tahmin etmek yerine ilk birkaç terimi hesapla; sorular genellikle 4–6. terimle sınırlıdır.
a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = aₙ + 2n olarak tanımlanan dizinin 5. terimi kaçtır?
2Aritmetik dizi
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
Her terim bir öncekine sabit bir ortak fark d eklenerek bulunur.
İki terim verildiyse: farkı terim numaralarının farkına böl. a₃ ile a₈ verildiyse aritmetikte 5d elde edilir. Terim toplamları verildiyse: a₂ + a₈ gibi numaraları toplamı eşit olan terimleri ortanca terime çevir: a₂ + a₈ = a₃ + a₇ = 2a₅.
Bir aritmetik dizide a₃ = 11 ve a₈ = 26'dır. Dizinin ilk 20 teriminin toplamı kaçtır?
x − 2, x + 1 ve 3x − 4 sayıları bu sırayla bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ise x kaçtır?
Ortanca terim kuralını şimdi sen dene:
Bir aritmetik dizide a₂ + a₈ = 26 ve a₅ + a₁₁ = 44'tür.
Buna göre a₂₀ kaçtır?
3Geometrik dizi
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
Her terim bir öncekinin sabit bir ortak çarpan r ile çarpılmasıyla bulunur. Aritmetikteki "fark" ve "ortalama", burada "oran" ve "çarpım" olur.
İki terim verildiyse oranın, terim numaralarının farkı kadar kökünü al: a₃ ile a₈ verildiyse geometrikte r⁵ elde edilir. Toplam oranı: (a₃ + a₄) / (a₁ + a₂) = r² gibi oranlarla ortak çarpan hızlıca bulunur.
Bir geometrik dizide a₂ = 6 ve a₅ = 48'dir. Dizinin ilk 6 teriminin toplamı kaçtır?
2, x ve 18 sayıları bu sırayla terimleri pozitif bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir.
Buna göre x kaçtır?
4Toplam formülünden terime
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.
Sₙ formülü verildiyse aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ kullan. Sₙ ikinci dereceden bir polinom ve sabit terimi yoksa dizi aritmetiktir; ortak fark, n² katsayısının 2 katıdır.
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı Sₙ = 2n² + 3n formülüyle veriliyor.
Buna göre dizinin 10. terimi kaçtır?
5Sık yapılan hatalar
Arada küçük sorular var, atlamadan çöz.
Aritmetik dizide aₙ = a₁ + n · d'dir.
Geometrik dizide aₙ = a₁ · rⁿ'dir.
a₈ − a₃ farkı 8d ya da 3d'dir.
Toplam formülü verildiğinde Sₙ değeri doğrudan terimdir.
r² = 9 ise "terimleri pozitif" denmiş olsa da r = −3 kabul edilebilir.
Ortanca terim kuralı yalnızca terim numaraları arasındaki farklar eşitse uygulanır.
1. gün ile 10. gün arasında 10 fark vardır.
6ÖSYM'de nasıl soruluyor
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
- Genel terim soruları: aₙ formülünden terim bulma, "kaçıncı terimdir" soruları ya da iki dizinin eşitliği.
- Aritmetik dizi: İki terim ya da terim toplamları verilip başka bir terimin veya ilk n terim toplamının istenmesi.
- Geometrik dizi: Ortak çarpanın bulunması, ortanca terim özelliği, ilk n terim toplamı.
- Karma sorular: Aritmetik dizinin terimlerine sayı eklenerek geometrik dizi elde edilmesi gibi iki diziyi birleştiren sorular (genellikle zor).
- Modelleme: Koşu mesafesi, tasarruf, bakteri sayısı, zıplayan top gibi problemlerde dizinin türünü tanıyıp formülü uygulama.
7Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
Aritmetik: aₙ = , Sₙ = , ortadaki terim = . Geometrik: aₙ = , Sₙ = , ortadaki terimin karesi = . Toplamdan terime: aₙ = . a, b, c aritmetik ⇒ ; geometrik ⇒ . İndirgemeli dizide terimleri .