puanlabs
Ücretsiz başla

AYT İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar konu anlatımı

Matematik · sınavda ortalama 1,5 soru çıkıyor

Formül atölyesi

Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.

7 bölüm · ~15 dk · 15 etkileşim

Hadi başlayalım! Bu konu 7 bölüm, yaklaşık 15 dakika. Arada sana küçük sorular soracağım.

İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar, AYT Matematik testinde her yıl 1–2 soruyla yer alır; ayrıca parabol, eşitsizlikler ve polinomlar sorularında sürekli kullanılır. a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Konunun üç temel direği vardır: diskriminant ile kök türünü belirlemek, kök–katsayı bağıntılarını (Vieta) kullanmak ve Δ < 0 durumunda ortaya çıkan karmaşık sayılarla işlem yapmak. ÖSYM bu konuda kökleri tek tek bulmayı gerektirmeyen, bağıntıları akıllıca kullanmayı ödüllendiren sorular sorar. Kökleri tek tek hesaplamaya çalışmak hem zaman kaybettirir hem de köklü ifadelerde hata riskini artırır.

1Diskriminant ve kök formülü

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

Diskriminant
DiskriminantΔ = b² − 4ac
Δ > 0iki farklı gerçek kök
Δ = 0çakışık (eşit) iki gerçek kökx = −b/(2a)
Δ < 0gerçek kök yokturkökler birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır
Kök formülüx₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
Parametre aralığı0 / 2 adım

x² − 4x + m = 0 denkleminin iki farklı gerçek kökü olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

    2Kök–katsayı bağıntıları (Vieta)

    Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

    Vieta
    Toplamx₁ + x₂ = −ba
    Çarpımx₁ · x₂ = ca
    Fark|x₁ − x₂| = √Δ / |a|
    Kareler toplamıx₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
    Küpler toplamıx₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂)
    Tersler toplamı1x₁ + 1x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂)
    Kökleri verilen denklemx² − Tx + Ç = 0T: kökler toplamı, Ç: kökler çarpımı
    Kökleri bulmadan hesapla0 / 3 adım

    x² − 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre x₁² + x₂² ve |x₁ − x₂| kaçtır?

      Kalemi alBir şık seç

      x² − 5x + 3 = 0

      denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre 1x₁ + 1x₂ toplamı kaçtır?

      3Parametre, işaret ve özel denklemler

      Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

      • Kökler arasında bağıntı verilmişse (biri diğerinin 3 katı, 2x₁ + 3x₂ = 17 gibi) bu bağıntıyı Vieta ile birleştirerek kökleri bul.
      • Gerçek kök koşulu: Parametreli sorularda Vieta ile bulunan değerlerin Δ ≥ 0 koşulunu sağlayıp sağlamadığını mutlaka kontrol et.
      • Köklerin işareti: İki kökün de pozitif olması için Δ ≥ 0, x₁ + x₂ > 0 ve x₁x₂ > 0 koşullarının üçü birden sağlanmalıdır.
      • Değişken değiştirme: (x² − 2x)² − … gibi tekrar eden ifadelere t de. Bulunan her t için yeni denklemin diskriminantını ayrıca kontrol et.
      • Mutlak değerli denklemler: x² = |x|² olduğundan x² − 5|x| + 6 = 0 denklemi |x| için ikinci dereceden bir denklemdir; |x| negatif olamaz.
      Mutlak değerli denklemBir şık seç

      x² − |x| − 6 = 0

      denkleminin gerçek köklerinin çarpımı kaçtır?

      4Karmaşık sayılar

      Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

      i² = −1 olmak üzere z = a + bi biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir. a = Re(z) gerçel kısım, b = Im(z) sanal kısımdır.

      Karmaşık sayılar
      i'nin kuvvetlerii¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 14'lü periyotla tekrar eder; iⁿ için n'nin 4'e bölümünden kalana bakılır
      Eşlenikz = a + bi ise z̄ = a − biz + z̄ = 2a ve z · z̄ = a² + b²
      Modül|z| = √a² + b²karmaşık düzlemde z'nin orijine uzaklığı; |z₁ − z₂| iki nokta arasındaki uzaklık
      Bölmepay ve payda, paydanın eşleniğiyle çarpılır
      Eşitlika + bi = c + di ⇔ a = c ve b = d
      Kullanışlı sonuçlar(1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i, 1 + i1 − i = i
      Eşlenik kökgerçek katsayılı denklemin bir kökü a + bi ise diğeri a − bi
      Çarpma

      (2 + 3i)(1 − 2i) çarpımını hesaplayınız.

      i'nin kuvveti

      i¹⁰³ kaçtır?

      Karmaşık bölme0 / 4 adım

      5 + i1 + i bölümünü a + bi biçiminde yazınız.

        Karmaşık kökler0 / 3 adım

        x² + 2x + 5 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

          Kalemi alBir şık seç

          i² = −1 olmak üzere

          (3 + i) / (1 − i)

          bölümü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

          5Sık yapılan hatalar

          Arada küçük sorular var, atlamadan çöz.

          Hangisi doğru?

          • Kökler toplamı ba'dır.

          • Parametreli sorularda Δ koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur.

          • Değişken değiştirme sonrası bulunan t değerlerinin toplamı kökler toplamıdır.

          • x² − |x| − 6 = 0 denkleminde |x| = −2 de bir çözüm verir.

          • Çarpmada −6i² terimi −6 olarak yazılır.

          • |a + bi| = √a² − b²'dir.

          • Karmaşık bölmede hem pay hem payda paydanın eşleniğiyle çarpılır.

          6ÖSYM'de nasıl soruluyor

          Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

          • Kök–katsayı bağıntıları (1 soru): x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂, x₁³ + x₂³ gibi simetrik ifadeler ya da kökler arasında bağıntı verilip parametre bulma.
          • Parametre ve Δ: Kök türüne göre parametre aralığı; genellikle eşitsizlikler konusuyla birleşir.
          • Karmaşık sayılar (1 soru): Dört işlem, eşlenik, modül, i'nin kuvvetleri; zaman zaman karmaşık düzlemde uzaklık yorumu.
          • Problemler: Sözel bir durumun ikinci dereceden denkleme dönüştürülmesi (kişi sayısı, hız, alan).

          7Kısa tekrar

          Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

          Kuralı tamamla0 / 12

          Δ = ; Δ > 0 , Δ = 0 , Δ < 0 . x₁ + x₂ = , x₁x₂ = , |x₁ − x₂| = . Kökleri verilen denklem: . i² = , i⁴ = ; z · z̄ = a² + b² = . Bölmede genişlet.