puanlabs
Ücretsiz başla

AYT İntegral konu anlatımı

Matematik · sınavda ortalama 3,5 soru çıkıyor

Formül atölyesi

Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.

8 bölüm · ~16 dk · 15 etkileşim

Hadi başlayalım! Bu konu 8 bölüm, yaklaşık 16 dakika. Arada sana küçük sorular soracağım.

İntegral, türevin ters işlemidir: türevi f(x) olan fonksiyonu bulmaya belirsiz integral, bu fonksiyonun iki sınır arasındaki değer farkını hesaplamaya belirli integral denir. Belirli integralin en önemli geometrik anlamı alandır: bir eğri ile x ekseni ya da iki eğri arasında kalan bölgenin alanı belirli integralle hesaplanır.

İntegral, türevle birlikte AYT Matematik testinin en ağırlıklı konularındandır ve her yıl 3–4 soru gelir. Sorular dört kalıpta toplanır: temel integral kuralları (polinom, üstel, trigonometrik, 1/x), değişken değiştirme, belirli integralin özellikleri ve alan hesabı. Ayrıca "türevi verilen fonksiyonu bul" ve "∫ₐˣ f(t) dt ifadesinin türevi" gibi türev–integral bağlantısı kuran sorular sık görülür.

1Belirsiz integral ve temel kurallar

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

F′(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + c. Buradaki c integral sabitidir; türevi alınınca kaybolan sabiti temsil eder.

Temel integral kuralları
Sabit∫ k dx = kx + c
Kuvvet∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + cn ≠ −1
1/x∫ (1x) dx = ln|x| + c
Üstel∫ eˣ dx = eˣ + c∫ aˣ dx = aˣ / ln a + c
Trigonometrik∫ sin x dx = −cos x + c∫ cos x dx = sin x + c
Sabitle çarpım∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
Toplam, fark∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
Köklü, kesirli√x = x12, 1x² = x⁻² yazılır∫ √x dx = (2/3)x^(3/2) + c

Önce aç, sonra integral al: (x + 1)² gibi ifadeleri açıp terim terim integral almak çoğu zaman en güvenli yoldur.

Terim terim integral0 / 3 adım

∫ (3x² − 4x + 5) dx integralini hesaplayınız.

    2Türevden fonksiyona

    Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

    Türev–integral bağlantısı
    İntegralin türevi[∫ f(x) dx]′ = f(x)
    Değişken üst sınırF(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ise F′(x) = f(x)ve F(a) = 0
    • Başlangıç koşulu: f′(x) ve bir f(a) değeri verildiyse önce belirsiz integrali al, sonra verilen değerle c'yi bul.
    • Teğet eğimi = türev: "Eğrinin her noktasındaki teğetinin eğimi …" ifadesi f′(x)'i verir.
    Başlangıç koşulu0 / 3 adım

    f′(x) = 6x − 2 ve f(1) = 4 olduğuna göre f(2) kaçtır?

      Kalemi alBir şık seç

      f′(x) = 4x + 3 ve f(0) = 2 olduğuna göre f(2) kaçtır?

      3Değişken değiştirme

      Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

      İntegralde bir ifade ile onun türevi (ya da türevinin sabit katı) birlikte görünüyorsa u = g(x) dönüşümü yapılır, du = g′(x) dx olur: ∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du.

      u dönüşümü0 / 3 adım

      ∫ 2x(x² + 1)³ dx integralini hesaplayınız.

        İç fonksiyon doğrusal ise: u = kx dönüşümünde du = k dx olur ve sınırlar da k ile çarpılır. Örneğin ∫₀¹ f(2x) dx = (1/2) ∫₀² f(u) du. du ile dx arasındaki katsayıyı (örneğin 1/2) unutmak sık yapılan bir hatadır.

        4Belirli integral ve özellikleri

        Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.

        F, f'nin bir ilkeli ise integral sabiti sadeleşir, yazılmaz.

        Belirli integral
        Temel kural∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
        Eşit sınır∫ₐᵃ f(x) dx = 0
        Sınır değişimi∫₁³ f(x) dx = −∫₃¹ f(x) dxsınırlar yer değiştirince işaret değişir
        Aralık bölme∫₁⁶ f(x) dx = ∫₁³ f(x) dx + ∫₃⁶ f(x) dxaralığın parçalarındaki integrallerin toplamı
        Parçalı, mutlak değerlikırılma noktasından bölünerek hesaplanır

        Örneğin ∫₁³ (2x + 1) dx için ilkel fonksiyon F(x) = x² + x'tir: F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10. Mutlak değerli bir fonksiyonda aynı fikri kırılma noktasıyla dene:

        Kalemi alBir şık seç

        ∫₋₁² |x| dx integralinin değeri kaçtır?

        5Alan hesabı

        Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

        Alan
        f(x) ≥ 0alan = ∫ₐᵇ f(x) dxy = f(x), x ekseni, x = a ve x = b arası
        f(x) ≤ 0alan = −∫ₐᵇ f(x) dxintegral negatif çıkar, alan pozitiftir
        Eksen kesilirsearalık kesim noktalarından bölünürher parçanın mutlak değeri toplanır
        İki eğri arası∫ₐᵇ [üstteki − alttaki] dxsınırlar genellikle eğrilerin kesim noktalarıdır
        Parabol–doğru kısayolu|a| · (x₂ − x₁)³ / 6y = ax² + bx + c ile doğru x₁ ve x₂'de kesişiyorsa; kontrol için kullanışlıdır

        Alan sorusunda işaret kontrolü: Önce fonksiyonun sıfırlarını bul, aralıkta hangi eğrinin üstte olduğunu bir test noktasıyla kontrol et.

        Eksenin altındaki alan0 / 4 adım

        y = x² − 4x eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

          y = x²y = x + 2Oxy(−1, 1)(2, 4)

          y = x² parabolü ile y = x + 2 doğrusu arasındaki bölge

          İki eğri arasındaki alan0 / 4 adım

          y = x² parabolü ile y = x + 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

            Kalemi alBir şık seç

            y = x² − 2x eğrisi ile x ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

            6Sık yapılan hatalar

            Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

            Hangisi doğru?

            • Belirsiz integralde + c yazmasan da sonuç değişmez.

            • ∫ xⁿ dx hesabında üs artırılır, bölme gerekmez.

            • ∫ sin x dx = cos x + c'dir.

            • Belirli integral F(a) − F(b) ile hesaplanır.

            • x ekseninin altındaki ve üstündeki parçalar birbirinden çıkarılarak alan bulunur.

            • İki eğri arasındaki alanda alttaki eğriden üstteki çıkarılır.

            • ∫ f · g dx = ∫ f dx · ∫ g dx'tir.

            7ÖSYM'de nasıl soruluyor

            Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

            • Temel kural soruları (1 soru): Polinom, üstel veya trigonometrik bir ifadenin belirsiz ya da belirli integrali.
            • Türevden fonksiyona geçiş: f′(x) veya teğet eğimi verilip f'nin belirli bir noktadaki değeri; bazen ekstremum bilgisiyle birleştirilir.
            • Belirli integral özellikleri: Aralık bölme, sınır değiştirme, parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların integrali.
            • Alan (1–2 soru): Eğri ile x ekseni, iki eğri ya da parabol ile doğru arasındaki alan. Sınavda bölge genellikle grafikle verilir; burada sözel olarak anlatılır.
            • ∫ₐˣ f(t) dt: Üst sınırı değişken olan integralin türevi ya da belirli bir noktadaki değeri.

            8Kısa tekrar

            Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

            Kuralı tamamla0 / 10

            ∫ xⁿ dx = ; ∫ (1/x) dx = ; ∫ eˣ dx = . ∫ sin x dx = ; ∫ cos x dx = . ∫ₐᵇ f(x) dx = ; sınır değişirse . F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ⇒ F′(x) = . Alan = ∫ |f(x)| dx; iki eğri arası = . Değişken değiştirme: u = g(x), du = .