AYT Türev konu anlatımı

Konu özeti

Türev, AYT Matematik testinin en çok soru gelen konularından biridir: her yıl ortalama 3–4 soru doğrudan türevden gelir, integral ve limit sorularında da türev bilgisi dolaylı olarak kullanılır. Türev bir fonksiyonun anlık değişim hızını ölçer. Grafik üzerinde düşündüğünde türev, eğriye bir noktada çizilen teğet doğrunun eğimidir.

Konu üç katmanda sorulur: türev alma kuralları (polinom, çarpım, bölüm, zincir kuralı, trigonometrik fonksiyonlar), türevin geometrik yorumu (teğet ve normal denklemi) ve türevin uygulamaları (artan–azalan aralıklar, ekstremum noktaları, büküm noktası, maksimum–minimum problemleri, hız–ivme). Kurallar ezberlendiğinde ilk iki katman hızlı çözülür; asıl ayırt edici sorular uygulamalardan gelir.

Temel kavramlar ve formüller

Türevin tanımı: f′(a) = lim (h→0) [f(a + h) − f(a)] / h. Bu limit varsa f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Sınavda "lim (h→0) [f(3 + h) − f(3)] / h" gibi bir ifade görürsen doğrudan f′(3) yazabilirsin.

Temel türev kuralları:

(c)′ = 0, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
(√x)′ = 1 / (2√x), (1/x)′ = −1/x²
(f ± g)′ = f′ ± g′, (c·f)′ = c·f′
Çarpım kuralı: (f·g)′ = f′·g + f·g′
Bölüm kuralı: (f/g)′ = (f′·g − f·g′) / g²
Zincir kuralı: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x); özel olarak [u(x)ⁿ]′ = n·uⁿ⁻¹·u′

Trigonometrik fonksiyonlar:

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
(tan x)′ = 1 + tan²x = 1/cos²x
(sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b), (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b)

Teğet ve normal: y = f(x) eğrisine x = a noktasında çizilen teğetin eğimi m = f′(a), denklemi y − f(a) = f′(a)·(x − a) biçimindedir. Normal doğru teğete diktir; eğimi −1/f′(a) olur.

Artan–azalan: Bir aralıkta f′(x) > 0 ise f artan, f′(x) < 0 ise f azalandır.

Ekstremum: f′(a) = 0 ve türev a noktasında işaret değiştiriyorsa a bir yerel ekstremum apsisidir. İşaret + → − ise yerel maksimum, − → + ise yerel minimum vardır. İkinci türevle kontrol: f′(a) = 0 iken f″(a) < 0 ise maksimum, f″(a) > 0 ise minimum.

Büküm noktası: f″(x) işaret değiştirdiği nokta; eğrinin çukurluk yönünün değiştiği yerdir. Üçüncü dereceden bir polinomda büküm noktası f″(x) = 0 denkleminin tek köküdür.

Hız ve ivme: Konum s(t) ise hız v(t) = s′(t), ivme a(t) = v′(t) = s″(t). Cismin durduğu anlarda v(t) = 0 olur.

Kurallar / pratik yöntemler

Önce sadeleştir, sonra türev al. (2x + 1)(x − 3) gibi çarpımlarda çarpımı açmak, çarpım kuralından daha hızlı ve güvenlidir.
Zincir kuralında içi unutma: (x² + 1)⁵ ifadesinin türevi 5(x² + 1)⁴ değil, 5(x² + 1)⁴·2x'tir.
Teğet sorularında iki bilgi yazılır: eğrinin noktadan geçmesi (f(a) değeri) ve eğimin eşitliği (f′(a) değeri). Bu iki denklem genellikle iki bilinmeyeni bulmaya yeter.
Dışarıdaki bir noktadan teğet: Değme noktasını (a, f(a)) olarak al, teğet denklemini yaz ve verilen noktayı denkleme yerleştir.
Artan–azalan için işaret tablosu: f′(x)'i çarpanlarına ayır, köklerini sayı doğrusuna yerleştir, işaretleri en sağdan başlayarak belirle.
Her x için artan: İkinci dereceden f′(x) = ax² + bx + c için a > 0 ve Δ ≤ 0 olmalıdır. Δ = 0 durumu da kabul edilir, çünkü türev yalnızca tek noktada sıfır olur.
Maksimum–minimum problemleri: Büyütülecek (ya da küçültülecek) niceliği tek değişkenli bir fonksiyon olarak yaz, türevini sıfıra eşitle, bulduğun değerin tanım aralığında olduğunu kontrol et.
Kübik fonksiyonun büküm noktası yerel maksimum ve minimum apsislerinin tam ortasındadır; bu, kontrol için hızlı bir yoldur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: f(x) = x³ − 12x + 3 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?

Çözüm: f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Kökler x = −2 ve x = 2'dir. İşaret tablosu: x < −2 için f′ > 0, −2 < x < 2 için f′ < 0, x > 2 için f′ > 0. Türev x = −2'de + → − geçtiği için burada yerel maksimum vardır. f(−2) = −8 + 24 + 3 = 19 bulunur. (x = 2'de yerel minimum vardır ve f(2) = 8 − 24 + 3 = −13'tür.)

Örnek 2: y = x² + ax + b parabolüne x = 2 apsisli noktada çizilen teğetin denklemi y = 3x − 1 ise a + b kaçtır?

Çözüm: Eğimler eşit olmalı: y′ = 2x + a ⇒ y′(2) = 4 + a = 3 ⇒ a = −1. Değme noktası teğet üzerindedir: x = 2 için teğette y = 5 olduğundan 4 + 2a + b = 5 ⇒ 4 − 2 + b = 5 ⇒ b = 3. Sonuç: a + b = 2.

Örnek 3: Toplamları 18 olan iki pozitif reel sayıdan birinin karesi ile diğerinin çarpımı en çok kaç olabilir?

Çözüm: Sayılar x ve 18 − x olsun. Çarpım f(x) = x²(18 − x) = 18x² − x³. f′(x) = 36x − 3x² = 3x(12 − x) = 0 ⇒ x = 12 (x = 0 pozitif değil). x = 12 civarında türev + → − geçtiği için maksimumdur. f(12) = 144 · 6 = 864. Sayıları eşit alıp 9² · 9 = 729 bulmak tipik bir hatadır.

Sık yapılan hatalar

Zincir kuralında iç fonksiyonun türevini çarpmayı unutmak.
Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak: (f·g)′ ≠ f′·g′.
Bölüm kuralında paydaki işaret sırasını karıştırmak: pay f′g − fg′ olmalıdır.
(cos x)′ türevindeki eksi işaretini atlamak.
Teğet denkleminde eğim olarak f′(a) yerine f(a) almak ya da değme noktasının ordinatını (f(a)) hesaplamayı unutup denklemde yalnızca eğimi kullanmak.
f′(a) = 0 olan her noktayı ekstremum sanmak; örneğin f(x) = x³ için f′(0) = 0 ama türev işaret değiştirmez, x = 0 ekstremum değil büküm noktasıdır.
"Her x için artan" sorularında Δ < 0 yazıp Δ = 0 durumunu dışarıda bırakmak.
Maksimum–minimum problemlerinde, istenen değer yerine türevin kökünü (x değerini) cevap olarak işaretlemek.

Sınavda nasıl soruluyor

Doğrudan türev hesabı (1 soru): Polinom, bileşke ya da trigonometrik bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi. Genellikle kolay–orta düzeydedir.
Teğet soruları (1 soru): Teğetin eğimi, denklemi ya da teğet bilgisinden katsayıların bulunması.
Grafik yorumlama: f veya f′ grafiği verilip artan–azalan aralıklar, ekstremum noktaları soruluyor. Sınavda grafik görsel olarak verilir; burada sözel olarak anlatılır.
Maksimum–minimum problemleri (1 soru): Geometrik şekil (dikdörtgen, kutu) ya da sayı problemi; genellikle orta–zor.
Parametreli sorular: "Fonksiyonun her x için artan olması için a hangi aralıkta olmalıdır?" gibi, diskriminant bilgisiyle birleşen sorular.

Kısa tekrar

Türev = anlık değişim hızı = teğetin eğimi.
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; çarpım: f′g + fg′; bölüm: (f′g − fg′)/g²; zincir: f′(g(x))·g′(x).
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.
Teğet: y − f(a) = f′(a)(x − a).
f′ > 0 artan, f′ < 0 azalan; işaret değişimi ekstremum verir.
f″ = 0 ve işaret değişimi büküm noktasını verir.
Hız = s′(t), ivme = s″(t).