Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
9 bölüm · ~17 dk · 19 etkileşim
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, AYT Matematik testinde her yıl 2–3 soruyla yer alan ve birbirinin tersi olan iki fonksiyon ailesidir. Üstel fonksiyon f(x) = aˣ biçimindedir; logaritma ise "a'yı kaçıncı kuvvete yükseltirsem x'i elde ederim?" sorusunun cevabıdır. Bu nedenle bir logaritma sorusunu çözerken çoğu zaman ifadeyi üstel biçime, bir üstel denklemi çözerken de logaritmaya geçmek gerekir.
Konu dört başlıkta sorulur: üstel fonksiyonun grafiği ve özellikleri, logaritmanın tanımı ve tanım kümesi, logaritma kuralları (çarpım, bölüm, kuvvet, taban değiştirme) ve üstel–logaritmik denklemler ile eşitsizlikler. Son yıllarda bakteri çoğalması, faiz ve radyoaktif bozunma gibi günlük hayat modelleri de sıkça sorulmaktadır.
1Üstel fonksiyon
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ üstel fonksiyondur.
f(x) = 2ˣ + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2Logaritmanın tanımı
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
3Logaritma kuralları
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
Kısaca: çarpım → toplam, bölüm → fark, kuvvet → katsayı.
log₂ 48 − log₂ 3 işleminin sonucu kaçtır?
log 2 ve log 3 türünden yazma: Sayıyı 2, 3 ve 10'un çarpımı veya bölümü şeklinde yaz. log 5 = log(10/2) = 1 − log 2 bilgisini unutma.
log 2 = a ve log 3 = b olduğuna göre log 18 ve log₅ 12 ifadelerini a ve b türünden yazınız.
log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 8 işleminin sonucu kaçtır?
4Logaritmik grafik ve eşitsizlikler
Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.
| f(x) = aˣ | f(x) = logₐ x | |
|---|---|---|
| Tanım kümesi | ℝ | (0, ∞) |
| Görüntü kümesi | (0, ∞) | ℝ |
| Geçtiği nokta | (0, 1) | (1, 0) |
| Asimptot | y = 0 (yatay) | x = 0 (düşey) |
| a > 1 | Artan | Artan |
| 0 < a < 1 | Azalan | Azalan |
Taban 1'den büyükse eşitsizlik yönü korunur, taban 0 ile 1 arasındaysa eşitsizlik yönü değişir. Logaritmalı eşitsizliklerde ayrıca logaritmanın içinin pozitif olması şartı eklenir. Hangileri doğru?
Taban 0 ile 1 arasındaysa eşitsizlik yönü korunur.
Logaritmalı eşitsizliklerde logaritmanın içinin pozitif olması şartı da eklenir.
logₐ x grafiği (0, 1) noktasından geçer.
logₐ x için x = 0 doğrusu düşey asimptottur.
5Denklem çözme yöntemleri
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 4 bölüm kaldı.
Kartları çevirmeden önce hangi yöntemin işe yarayacağını tahmin et.
log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 1 denklemini çözünüz.
4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
6Ters fonksiyon ve asimptot
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
Ters fonksiyon: y = aˣ⁻ᵇ + c ise y − c = aˣ⁻ᵇ ⇒ x = b + logₐ(y − c).
f(x) = 2^(x − 1) + 3 grafiği ve y = 3 asimptotu
f(x) = 2x − 1 + 3 fonksiyonunun tersini, görüntü kümesini ve asimptotunu bulunuz.
7Sık yapılan hatalar
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
8ÖSYM'de nasıl soruluyor
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
- Doğrudan hesaplama: Logaritma kurallarıyla sadeleştirme, zincir biçimli log çarpımları (log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 8 gibi).
- Denklem ve eşitsizlik: Aynı tabana getirme, değişken değiştirme ve logaritmik denklemler; tanım kümesi kontrolü genellikle tuzak olarak kullanılır.
- Tanım kümesi: f(x) = logₐ(g(x)) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralık ya da her x için tanımlı olması için parametre koşulu.
- Grafik ve ters fonksiyon: Üstel veya logaritmik fonksiyonun asimptotu, geçtiği nokta, tersinin kuralı.
- Modelleme: N(t) = N₀ · 2^(t/k) gibi büyüme ya da bozunma modellerinde, verilen log değerleriyle süre hesabı.
9Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
logₐ x = y ⇔ ; şart: . Çarpım → , bölüm → , kuvvet → . Taban değiştirme: logₐ b = . aˣ: tanım ℝ, görüntü (0, ∞), 'den geçer; logₐ x: tanım (0, ∞), 'dan geçer. a > 1 artan, 0 < a < 1 azalan; eşitsizlikte taban 1'den küçükse . Logaritmik denklemde bulunan kökü mutlaka kontrol et.