AYT Polinomlar konu anlatımı

Polinomlar, AYT Matematik testinde her yıl 1–2 soruyla yer alan ve ikinci dereceden denklemler, limit, türev ve integral gibi konuların altyapısını oluşturan bir konudur. Sorular genellikle katsayılar toplamı ve sabit terim, polinomların eşitliği, bölme işlemi ve kalan teoremi üzerine kuruludur.

a₀, a₁, …, aₙ gerçek sayılar ve n bir doğal sayı olmak üzere

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

biçimindeki ifadelere gerçek katsayılı polinom denir. aₙ ≠ 0 ise polinomun derecesi n, başkatsayısı aₙ'dir; a₀ ise sabit terimdir. Bir ifadenin polinom olabilmesi için x'in bütün kuvvetleri doğal sayı olmalıdır; x⁻¹, √x ya da x'in paydada bulunduğu terimler polinom oluşturmaz.

1Katsayılar toplamı ve sabit terim

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

x yerine doğru sayıyı yazmak, polinomu açmadan bilgi almanın en kısa yoludur.

Yerine 1, 0 ve −1 yaz

Katsayılar toplamıP(1)

Sabit terimP(0)

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı[P(1) + P(−1)] / 2

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı[P(1) − P(−1)] / 2

Açmadan hesapla0 / 2 adım

P(x) = (x² − 2x + 3)⁴ polinomunun katsayılar toplamı ve sabit terimi kaçtır?

Kalemi alBir şık seç

P(x) = (x² − 3x + 1)³

polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?

2Eşitlik ve derece

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

Eşitlik ve derece kuralları

Polinom eşitliğiaynı dereceli terimlerin katsayıları eşittiriki polinom eşitse

Çarpımder(P · Q) = m + nder P = m, der Q = n

Kuvvet içindeder P(xᵏ) = m · k

Bileşkeder P(Q(x)) = m · n

Toplamen fazla büyük olanın derecesi kadar

3Bölme ve kalan teoremi

Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

Bölme algoritması ve kalan teoremi

BölmeP(x) = B(x) · Q(x) + K(x)der K < der B

x − a ile bölümkalan P(a)

ax + b ile bölümkalan P(−ba)

Çarpan ve kökP(a) = 0 ise x − a çarpan, a kök

İkinci dereceden bölenK(x) = mx + nkalan en fazla birinci derecedendir

ax + b ile bölümden kalan

P(x) = 4x³ + 2x² − x + 5 polinomunun 2x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

İki koşuldan kalan: P(x)'in (x − a)(x − b) ile bölümünden kalan K(x) = mx + n için K(a) = P(a), K(b) = P(b) yazılır.

İki kalandan bir kalan0 / 4 adım

P(x)'in x − 1 ile bölümünden kalan 4, x − 2 ile bölümünden kalan 7'dir. P(x)'in x² − 3x + 2 ile bölümünden kalan nedir?

Yerine koyma yöntemi: x² + 1, x² − 2 gibi bir bölenle bölümden kalan istendiğinde x² yerine −1, 2 gibi değerler yazılarak polinom birinci dereceye indirgenir.

Yerine koyma

P(x) = x⁴ + 2x³ − x + 3 polinomunun x² − 2 ile bölümünden kalan nedir?

Kalemi alBir şık seç

P(x) = x³ − 4x² + ax + 6

polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre a kaçtır?

4Horner yöntemi

Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.

Horner yöntemi (sentetik bölme): x − a ile bölmede katsayılar büyük dereceden küçüğe yazılır (eksik dereceler için 0). İlk katsayı aşağı indirilir; her adımda son sonuç a ile çarpılıp bir sonraki katsayıya eklenir. En sondaki sayı kalan, öncekiler bölümün katsayılarıdır. Kısaca: indir, çarp, ekle.

Horner ile bölme0 / 5 adım

P(x) = x³ + 2x² − 5x + 1 polinomunun x − 2 ile bölümünden elde edilen bölümü ve kalanı bulunuz.

5Pratik yöntemler

Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.

Konu kartları1 / 3

Kökleri bul0 / 3 adım

P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 polinomunun köklerini bulunuz.

6Sık yapılan hatalar

Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

7ÖSYM'de nasıl soruluyor

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

Kalan teoremi (1 soru): Belirli bölenlerle bölümden kalanlar verilip ikinci dereceden bir bölenle kalanın bulunması ya da bilinmeyen katsayının hesaplanması.
Katsayılar toplamı ve sabit terim: P(ax + b) biçiminde verilen polinomlarda P'nin kendisine ait değerlerin bulunması.
Tam bölünebilme ve kökler: Polinomun belirli çarpanlara tam bölünmesi koşulundan katsayıların bulunması; (x − a)² ile tam bölünme gibi zor varyantlar.
Derece soruları: Bileşke ve çarpım polinomlarının derecesi; genellikle kolay düzeydedir.

8Kısa tekrar

Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

Kuralı tamamla0 / 10

Katsayılar toplamı , sabit terim . Çift dereceliler , tek dereceliler . P(x) = B(x) · Q(x) + K(x), . x − a ile bölümden kalan ; ax + b ile bölümden kalan . İkinci dereceden bölende kalan biçimindedir. Horner: ; son sayı .