Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
9 bölüm · ~17 dk · 19 etkileşim
Parabol ve İkinci Dereceden Fonksiyonlar, AYT Matematik testinde her yıl 1–2 soruyla yer alır. a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax² + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyon, grafiğine de parabol denir. Parabol soruları; tepe noktası, eksenleri kestiği noktalar, grafik üzerinden katsayıların işaretlerini yorumlama, parabol–doğru ilişkisi ve en büyük / en küçük değer problemleri üzerine kuruludur.
Bu konu, ikinci dereceden denklemler konusunun görsel karşılığıdır: ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleridir. Sınavda grafik genellikle çizili verilir; bu yüzden denklemden grafiğe ve grafikten denkleme geçebilmek gerekir.
1Tepe noktası ve simetri ekseni
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
Parabolün "kalbi" tepe noktasıdır; bütün grafik ona göre simetrik açılır.
Parabolün aynı ordinatlı iki noktasının apsislerinin ortalaması r'dir; özellikle x eksenini kestiği noktalar x₁ ve x₂ ise r = (x₁ + x₂)/2 olur.
y = x² − 4x − 5 parabolü: T(2, −9), A(−1, 0), B(5, 0), C(0, −5)
y = x² − 4x − 5 parabolünün tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
y = 2x² − 8x + 3 parabolünün tepe noktası T(r, k) olduğuna göre r + k toplamı kaçtır?
2Kollar ve eksenleri kesme
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
| Durum | Sonuç |
|---|---|
| a > 0 | Kollar yukarı; parabolün en küçük değeri k'dir. |
| a < 0 | Kollar aşağı; parabolün en büyük değeri k'dir. |
| |a| büyüdükçe | Parabol daralır. |
f(x) = −x² + 2x + 3 fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
3Parabol denklemi yazma
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
Hangi bilgi verildiyse ona uygun kalıbı seç; bilinmeyen a'yı da verilen ek noktayla bul.
x eksenini (−1, 0) ve (3, 0) noktalarında, y eksenini (0, 6) noktasında kesen parabolün tepe noktasını bulunuz.
Aynı kalıbı şimdi sen dene:
Bir parabol x eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında, y eksenini (0, 3) noktasında kesmektedir.
Buna göre bu parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?
4Parabol ile doğru
Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.
y = ax² + bx + c ve y = mx + n eşitlenir; elde edilen ax² + (b − m)x + (c − n) = 0 denkleminin diskriminantı konumu söyler.
| Ortak denklemin Δ'sı | Konum |
|---|---|
| Δ > 0 | İki noktada keser. |
| Δ = 0 | Doğru parabole teğettir. |
| Δ < 0 | Kesişmezler. |
y = 2x + k doğrusu y = x² + 1 parabolüne teğet olduğuna göre k kaçtır?
5Pratik yöntemler
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 4 bölüm kaldı.
Kartları çevirmeden önce yöntemi kendin hatırlamaya çalış.
6Optimizasyon problemleri
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
Büyütülecek nicelik ikinci dereceden bir fonksiyon olarak yazılır; en büyük değer tepe noktasında elde edilir. Değişkenin anlamlı aralığını kontrol etmeyi unutma.
Toplamları 20 olan iki gerçek sayının çarpımı en çok kaçtır?
7Sık yapılan hatalar
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
8ÖSYM'de nasıl soruluyor
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
- Grafik yorumlama (1 soru): Grafiği çizili bir parabolden a, b, c'nin işaretleri, tepe noktası ya da denklemin bulunması. Bu testte grafikler sözel olarak betimlenmiştir.
- Parabol–doğru ilişkisi: Kesişim, teğetlik ya da kesişmeme koşulundan parametre bulma; kesişim noktalarının apsis toplamı gibi Vieta uygulamaları.
- Günlük hayat optimizasyonu: Fiyat–satış, alan ya da çevre problemlerinde en büyük kâr veya alanın bulunması.
- Parametreli parabol: Tepe noktasının bir doğru üzerinde bulunması, tepe noktalarının geometrik yeri gibi sorular.
Günlük hayat optimizasyonuna bir örnek:
Bir kenarı düz bir duvara dayalı olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı 40 metrelik tel ile çevrilecektir.
Buna göre bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?
9Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
Tepe: r = , k = . a > 0 ise kollar (en küçük değer k), a < 0 ise kollar (en büyük değer k). Denklem kalıpları: y = ve y = . Δ > 0 , Δ = 0 , Δ < 0 . Kapalı aralıkta karşılaştırılır.