Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
8 bölüm · ~16 dk · 17 etkileşim
Olasılık, bir deneyin sonucunda belirli bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade eder. AYT Matematik testinde her yıl 1–2 soru doğrudan olasılıktan gelir ve bu sorular çoğunlukla permütasyon–kombinasyon bilgisiyle birleşir. TYT'deki olasılıktan farkı, AYT'de koşullu olasılık, bağımlı–bağımsız olaylar ve birden fazla aşamalı deneylerin (torba, zar, makine, test sonucu gibi) daha sık sorulmasıdır.
Bir olasılık sorusunu çözerken üç soruyu sırayla sor: Örnek uzay nedir ve kaç elemanlıdır? İstenen olay hangi sonuçlardan oluşur? Olaylar birbirini etkiliyor mu (bağımlı mı, bağımsız mı)? Bu üç sorunun cevabı hangi formülü kullanacağını belirler.
1Temel tanımlar
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
"En az bir" ifadesi gördüğünde çoğunlukla tümleyen en kısa yoldur.
Ali'nin bir atışta hedefi vurma olasılığı 23, Berk'inki 34'tür. İkisi birbirinden bağımsız olarak birer atış yaptığına göre hedefin vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
2Koşullu olasılık
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A'nın olasılığı:
İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre zarlardan birinin 3 olma olasılığı kaçtır?
İki zar birlikte atılıyor.
Üst yüzlere gelen sayıların toplamının 10 olduğu bilindiğine göre iki zarın da aynı sayı olma olasılığı kaçtır?
3Bağımsız ve bağımlı olaylar
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa A ve B bağımsızdır: P(A ∩ B) = P(A) · P(B), denk olarak P(A | B) = P(A). İki ayrı zarın sonuçları, iadeli çekilişler, farklı kişilerin atışları bağımsızdır.
| Ayrık olaylar | Bağımsız olaylar | |
|---|---|---|
| Anlamı | aynı anda gerçekleşemez | biri diğerinin olasılığını değiştirmez |
| Kesişim | P(A ∩ B) = 0 | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) |
| İşlem | olasılıklar toplanır | olasılıklar çarpılır |
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ve P(A ∪ B) = 0,7 ise A ile B bağımsız mıdır?
Bağımlı olaylar: Geri koymadan (iadesiz) çekilişlerde ilk çekiliş ikincinin olasılığını değiştirir. Bu durumda olasılıklar sırayla çarpılır: P(1. kırmızı ve 2. kırmızı) = P(1. kırmızı) · P(2. kırmızı | 1. kırmızı).
4Torba soruları
Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.
- Kombinasyonla olasılık: Aynı anda çekilen toplar için P = (istenen seçim sayısı) / (tüm seçim sayısı). "Aynı anda çekmek" ile "iadesiz art arda çekmek" aynı sonucu verir.
- Farklı renk / farklı sonuç: Art arda çekilişlerde "biri kırmızı biri mavi" olayında sıra belirtilmemişse iki sırayı da hesaba kat (K–M ve M–K).
- Simetri: Bir torbadan renge bakılmadan bir top çıkarılsa bile, ikinci topun belirli renkte olma olasılığı ilk çekilişteki olasılıkla aynıdır.
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Torbadan geri koymadan art arda iki top çekiliyor. Topların ikisinin de kırmızı olma ve farklı renkte olma olasılıkları kaçtır?
Bir torbada 3 kırmızı ve 2 mavi top vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki top çekiliyor.
Çekilen iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
5Toplam olasılık ve ters koşullu olasılık
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 3 bölüm kaldı.
Deney birkaç yoldan birinde gerçekleşiyorsa (hangi torbadan, hangi makineden çekildiği gibi) her yolun olasılığını o yoldaki olasılıkla çarpıp topla. "Sonuç biliniyor, hangi yoldan geldi?" diye sorulursa ilgili yolun payını toplama böl. Ağaç diyagramında her dala olasılığı yaz, bir yol boyunca çarp, farklı yolları topla.
I. torbada 3 beyaz, 2 siyah; II. torbada 1 beyaz, 4 siyah top vardır. Bir para atılıyor; tura gelirse I. torbadan, yazı gelirse II. torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olduğu bilindiğine göre I. torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?
- Tablo kullan: Sınıf–cinsiyet–gözlük gibi iki özellikli problemlerde yüzdeleri iki yönlü bir tabloya yerleştirmek koşullu olasılığı kolaylaştırır.
- Sıralamada simetri: n kişi rastgele sıralandığında belirli bir kişinin diğerinin solunda olma olasılığı 1/2'dir. Koşullu sorularda bu bilgi paydayı hızlıca verir.
Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kızdır. Kızların %25'i, erkeklerin %50'si gözlük kullanmaktadır.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olma olasılığı kaçtır?
6Sık yapılan hatalar
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
"Bilindiğine göre" ifadesi olsa da paydaya bütün örnek uzay yazılır.
P(A | B) ile P(B | A) aynıdır.
Geri koymadan çekilişte ikinci çekilişin paydası değişmez.
"Biri kırmızı biri mavi" olayında iki farklı sıra hesaba katılır.
Ayrık olaylar bağımsızdır.
P(A ∪ B) için olasılıkları toplamak yeterlidir.
"En az bir" sorularında tümleyen, durumları tek tek saymaktan daha güvenlidir.
7ÖSYM'de nasıl soruluyor
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
- Koşullu olasılık: Zar, kart veya numaralı toplarla "…olduğu bilindiğine göre" kalıbı. Neredeyse her yıl bir soru bu kalıptadır.
- Torba soruları: İadeli veya iadesiz çekilişler, bazen top bir torbadan diğerine aktarılarak iki aşamalı hale getirilir.
- Bağımsız olaylar: İki kişinin hedefi vurması, problemi çözmesi, bir sınavı geçmesi gibi durumlar; "yalnız birinin" ve "en az birinin" ifadeleri ayırt edicidir.
- Yüzdeli günlük hayat problemleri: Fabrikada kusurlu ürün, sınıfta gözlüklü öğrenci gibi toplam olasılık ve ters koşullu olasılık soruları.
- Sayma ile birleşik: Rakamlarla yazılan sayılardan, dizilişlerden rastgele seçim; pay ve payda permütasyon–kombinasyonla hesaplanır.
8Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
P(A) = , P(A′) = . P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − . P(A | B) = ; koşul örnek uzayı . Bağımsız: P(A ∩ B) = . Ağaçta dal boyunca , dalları . Ters koşullu olasılık = .