ÖABT İlköğretim Mat. Analitik Geometri konu anlatımı

Analitik geometri, geometrik nesneleri koordinatlar ve denklemler yardımıyla inceler. ÖABT İlköğretim Matematik'te bu başlıkta en çok nokta ve doğru (uzaklık, orta nokta, eğim, doğru denklemi, noktanın doğruya uzaklığı), çember (merkez, yarıçap, teğetlik) ve konikler (parabol, elips, hiperbol) sorulur. Başarının sırrı, her eğrinin standart denklemini tanımak ve parametreler arasındaki ilişkiyi (elipste c² = a² − b², hiperbolde c² = a² + b²) karıştırmamaktır.

Nokta ve doğru

• A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) için |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Orta nokta: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi −a/b'dir.
• Nokta–eğim biçimi: y − y₁ = m(x − x₁).
• Paralellik: m₁ = m₂. Diklik: m₁·m₂ = −1 (ya da normal vektörlerin iç çarpımı sıfır: a₁a₂ + b₁b₂ = 0).
• İki doğru arasındaki dar açı: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|.
• (x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
• Köşeleri (0, 0), (x₁, y₁), (x₂, y₂) olan üçgenin alanı: |x₁y₂ − x₂y₁| / 2. Genel durumda determinant (ayakkabı bağı) formülü kullanılır.

Çember

• Merkezi (a, b), yarıçapı r: (x − a)² + (y − b)² = r².
• Genel biçim x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ⇒ merkez (−D/2, −E/2), r² = (D² + E²)/4 − F.
• Doğru–çember konumu: merkezin doğruya uzaklığı d olmak üzere d < r kesişir, d = r teğet, d > r kesişmez.
• Kiriş uzunluğu: 2√(r² − d²).

Parabol

• y² = 4px: odak (p, 0), doğrultman x = −p, tepe orijin.
• x² = 4py: odak (0, p), doğrultman y = −p.
• (x − h)² = 4p(y − k): tepe (h, k), odak (h, k + p), doğrultman y = k − p.
• Parabol, odağa ve doğrultmana eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.

Elips

• x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): büyük eksen yatay, uzunluğu 2a; küçük eksen 2b.
• c² = a² − b²; odaklar (±c, 0); dışmerkezlik e = c/a (0 < e < 1).
• Elips üzerindeki her noktanın odaklara uzaklıkları toplamı 2a'dır.
• Paydadaki büyük sayı y²'nin altındaysa büyük eksen düşeydir.

Hiperbol

• x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b²; odaklar (±c, 0); e = c/a > 1.
• Asimptotlar: y = ±(b/a)x.
• Hiperbol üzerindeki her noktanın odaklara uzaklıkları farkının mutlak değeri 2a'dır.

Örnek 1. A(−1, 3) ve B(3, 0) noktaları veriliyor. |AB|'yi, AB'nin orta noktasını ve AB doğrusunun denklemini bulunuz.

Çözüm: |AB| = √(4² + (−3)²) = √25 = 5. Orta nokta (1, 3/2). Eğim m = (0 − 3)/(3 + 1) = −3/4. y − 3 = −(3/4)(x + 1) ⇒ 4y − 12 = −3x − 3 ⇒ 3x + 4y − 9 = 0. Kontrol: B için 9 + 0 − 9 = 0.

Örnek 2. x² + y² + 4x − 10y + 13 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Çözüm: Tam kareye tamamlayalım: (x + 2)² − 4 + (y − 5)² − 25 + 13 = 0 ⇒ (x + 2)² + (y − 5)² = 16. Merkez (−2, 5), yarıçap 4.

Örnek 3. 4x² + 9y² = 36 elipsinin odaklarını ve dışmerkezliğini bulunuz.

Çözüm: 36'ya bölünce x²/9 + y²/4 = 1; a = 3, b = 2. c² = 9 − 4 = 5 ⇒ c = √5. Odaklar (±√5, 0), dışmerkezlik e = √5/3.

Örnek 4. x² = 8y parabolünün odağını ve doğrultmanını bulunuz.

Çözüm: x² = 4py biçiminde 4p = 8 ⇒ p = 2. Odak (0, 2), doğrultman y = −2.