ÖABT İlköğretim Mat. Diferansiyel Denklemler konu anlatımı

Diferansiyel denklem, bilinmeyen bir fonksiyon ile onun türevleri arasındaki ilişkiyi veren denklemdir. ÖABT İlköğretim Matematik sınavında adi diferansiyel denklemler sorulur: mertebe ve derece belirleme, değişkenlerine ayrılabilen denklemler, homojen denklemler, tam diferansiyel denklemler, birinci mertebe doğrusal denklemler ve integrasyon çarpanı, Bernoulli denklemi, sabit katsayılı yüksek mertebe doğrusal denklemler, belirsiz katsayılar ve parametrelerin değişimi yöntemleri, Cauchy–Euler denklemi ve Laplace dönüşümü.

Soruların büyük bölümü doğrudan çözüm ister; bu yüzden denklemin türünü birkaç saniyede tanımak en önemli beceridir. Uygulama soruları (Newton soğuma yasası, nüfus artışı, radyoaktif bozunma) da birinci mertebe denklemlere dayanır.

Mertebe, derece ve doğrusallık

• n. mertebe bir denklemin genel çözümü n tane keyfî sabit içerir; başlangıç koşulları bu sabitleri belirler.

Birinci mertebe denklemler

Sabit katsayılı ikinci mertebe denklemler

ay'' + by' + cy = 0 için karakteristik denklem ar² + br + c = 0'dır.

• Farklı reel kökler r₁, r₂: y = c₁e^(r₁x) + c₂e^(r₂x).
• Çakışık kök r: y = (c₁ + c₂x)e^(rx).
• Karmaşık kökler α ± βi: y = e^(αx)(c₁cos βx + c₂sin βx).

Homojen olmayan denklemler

• Genel çözüm = homojen çözüm + özel çözüm (y = y_h + yₚ).

Cauchy–Euler denklemi

ax²y'' + bxy' + cy = 0 (x > 0) için y = xʳ denenir: ar(r − 1) + br + c = 0. Farklı reel köklerde y = c₁x^(r₁) + c₂x^(r₂), çakışık kökte y = (c₁ + c₂ ln x)xʳ.

Laplace dönüşümü

• L{1} = 1/s, L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{eᵃᵗ} = 1/(s − a).
• L{sin bt} = b/(s² + b²), L{cos bt} = s/(s² + b²).
• Kaydırma: L{eᵃᵗ f(t)} = F(s − a).
• L{y'} = sY − y(0), L{y''} = s²Y − s·y(0) − y'(0).